Давайте рассмотрим каждое из данных двойных неравенств по очереди и найдем значения переменной x, при которых выполняются данные неравенства.
1) 0 ≤ x^2 - 4x < 5:
Разбиваем данное двойное неравенство на два неравенства:
0 ≤ x^2 - 4x и x^2 - 4x < 5
Первое неравенство: 0 ≤ x^2 - 4x
Выражение x^2 - 4x можно факторизовать: x(x - 4)
Получается два случая:
1) x ≤ 0
2) x - 4 ≥ 0, что равносильно x ≥ 4
Второе неравенство: x^2 - 4x < 5
Выражение x^2 - 4x - 5 < 0 также можно факторизовать: (x - 5)(x + 1)
Получается три случая:
1) x - 5 < 0, что равносильно x < 5
2) x + 1 > 0, что равносильно x > -1
3) x - 5 > 0, что равносильно x > 5
Сочетая все полученные условия, мы получаем решение исходного двойного неравенства:
-1 < x ≤ 0, или 4 ≤ x < 5
Таким образом, при значениях переменной x, лежащих в интервале (-1, 0] или [4, 5), выполняется данное двойное неравенство.
2) -2 < 3x^2 - 4x - 1 < 2:
Разбиваем данное двойное неравенство на два неравенства:
-2 < 3x^2 - 4x - 1 и 3x^2 - 4x - 1 < 2
Первое неравенство: -2 < 3x^2 - 4x - 1
Избавляемся от отрицательного коэффициента домножением обеих частей неравенства на -1:
2 > -3x^2 + 4x + 1
Выражение -3x^2 + 4x + 1 можно факторизовать: (x - 1)(-3x - 1)
Получается два случая:
1) x - 1 > 0, что равносильно x > 1
2) -3x - 1 > 0, что равносильно -3x > 1, а затем x < -1/3
Второе неравенство: 3x^2 - 4x - 1 < 2
Выражение 3x^2 - 4x - 3 < 0 также можно факторизовать: (x - 3)(3x + 1)
Получается три случая:
1) x - 3 < 0, что равносильно x < 3
2) 3x + 1 < 0, что равносильно 3x < -1, а затем x < -1/3
3) x - 3 > 0, что равносильно x > 3
Сочетая все полученные условия, мы получаем решение исходного двойного неравенства:
-1/3 < x < 1, или x > 3
Таким образом, при значениях переменной x, лежащих в интервале (-1/3, 1) или (3, +∞), выполняется данное двойное неравенство.
3) 2 ≤ 2x^2 - 5x + 2 < 4:
Разбиваем данное двойное неравенство на два неравенства:
2 ≤ 2x^2 - 5x + 2 и 2x^2 - 5x + 2 < 4
Первое неравенство: 2 ≤ 2x^2 - 5x + 2
Выражение 2x^2 - 5x + 2 можно факторизовать: (x - 2)(2x - 1)
Получается два случая:
1) x - 2 ≥ 0, что равносильно x ≥ 2
2) 2x - 1 ≥ 0, что равносильно x ≥ 1/2
Второе неравенство: 2x^2 - 5x + 2 < 4
Выражение 2x^2 - 5x - 2 < 0 также можно факторизовать: (2x + 1)(x - 2)
Получается три случая:
1) 2x + 1 < 0, что равносильно 2x < -1, а затем x < -1/2
2) x - 2 < 0, что равносильно x < 2
3) 2x + 1 > 0, что равносильно 2x > -1, а затем x > -1/2
Сочетая все полученные условия, мы получаем решение исходного двойного неравенства:
-1/2 < x < 2
Таким образом, при значениях переменной x, лежащих в интервале (-1/2, 2), выполняется данное двойное неравенство.
4) -2 ≤ x^2 - 4x < 5:
Разбиваем данное двойное неравенство на два неравенства:
-2 ≤ x^2 - 4x и x^2 - 4x < 5
Первое неравенство: -2 ≤ x^2 - 4x
Выражение x^2 - 4x можно факторизовать: x(x - 4)
Получается два случая:
1) x ≤ 0
2) x - 4 ≥ 0, что равносильно x ≥ 4
Второе неравенство: x^2 - 4x < 5
Выражение x^2 - 4x - 5 < 0 также можно факторизовать: (x - 5)(x + 1)
Получается три случая:
1) x - 5 < 0, что равносильно x < 5
2) x + 1 > 0, что равносильно x > -1
3) x - 5 > 0, что равносильно x > 5
Сочетая все полученные условия, мы получаем решение исходного двойного неравенства:
-1 < x ≤ 0, или 4 ≤ x < 5
Таким образом, при значениях переменной x, лежащих в интервале (-1, 0] или [4, 5), выполняется данное двойное неравенство.
Надеюсь, что данное подробное объяснение помогло вам понять, как найти значения переменной x, при которых выполняются данные двойные неравенства. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!
Теперь сокращаем cos(b) в числителе и знаменателе:
= sin(a) / cos(a)
Итак, мы получили упрощенное выражение для sin(a-b) / (tga - tgb), которое равно sin(a) / cos(a).
В этом ответе я подробно объяснил каждый шаг упрощения выражения и обосновал его применение. Так как начальное выражение было сложным, я разделил его на более простые составляющие и упростил их поочередно. Пояснения и обоснования помогут школьнику понять логику упрощения и применение математических свойств и формул.
1) 0 ≤ x^2 - 4x < 5:
Разбиваем данное двойное неравенство на два неравенства:
0 ≤ x^2 - 4x и x^2 - 4x < 5
Первое неравенство: 0 ≤ x^2 - 4x
Выражение x^2 - 4x можно факторизовать: x(x - 4)
Получается два случая:
1) x ≤ 0
2) x - 4 ≥ 0, что равносильно x ≥ 4
Второе неравенство: x^2 - 4x < 5
Выражение x^2 - 4x - 5 < 0 также можно факторизовать: (x - 5)(x + 1)
Получается три случая:
1) x - 5 < 0, что равносильно x < 5
2) x + 1 > 0, что равносильно x > -1
3) x - 5 > 0, что равносильно x > 5
Сочетая все полученные условия, мы получаем решение исходного двойного неравенства:
-1 < x ≤ 0, или 4 ≤ x < 5
Таким образом, при значениях переменной x, лежащих в интервале (-1, 0] или [4, 5), выполняется данное двойное неравенство.
2) -2 < 3x^2 - 4x - 1 < 2:
Разбиваем данное двойное неравенство на два неравенства:
-2 < 3x^2 - 4x - 1 и 3x^2 - 4x - 1 < 2
Первое неравенство: -2 < 3x^2 - 4x - 1
Избавляемся от отрицательного коэффициента домножением обеих частей неравенства на -1:
2 > -3x^2 + 4x + 1
Выражение -3x^2 + 4x + 1 можно факторизовать: (x - 1)(-3x - 1)
Получается два случая:
1) x - 1 > 0, что равносильно x > 1
2) -3x - 1 > 0, что равносильно -3x > 1, а затем x < -1/3
Второе неравенство: 3x^2 - 4x - 1 < 2
Выражение 3x^2 - 4x - 3 < 0 также можно факторизовать: (x - 3)(3x + 1)
Получается три случая:
1) x - 3 < 0, что равносильно x < 3
2) 3x + 1 < 0, что равносильно 3x < -1, а затем x < -1/3
3) x - 3 > 0, что равносильно x > 3
Сочетая все полученные условия, мы получаем решение исходного двойного неравенства:
-1/3 < x < 1, или x > 3
Таким образом, при значениях переменной x, лежащих в интервале (-1/3, 1) или (3, +∞), выполняется данное двойное неравенство.
3) 2 ≤ 2x^2 - 5x + 2 < 4:
Разбиваем данное двойное неравенство на два неравенства:
2 ≤ 2x^2 - 5x + 2 и 2x^2 - 5x + 2 < 4
Первое неравенство: 2 ≤ 2x^2 - 5x + 2
Выражение 2x^2 - 5x + 2 можно факторизовать: (x - 2)(2x - 1)
Получается два случая:
1) x - 2 ≥ 0, что равносильно x ≥ 2
2) 2x - 1 ≥ 0, что равносильно x ≥ 1/2
Второе неравенство: 2x^2 - 5x + 2 < 4
Выражение 2x^2 - 5x - 2 < 0 также можно факторизовать: (2x + 1)(x - 2)
Получается три случая:
1) 2x + 1 < 0, что равносильно 2x < -1, а затем x < -1/2
2) x - 2 < 0, что равносильно x < 2
3) 2x + 1 > 0, что равносильно 2x > -1, а затем x > -1/2
Сочетая все полученные условия, мы получаем решение исходного двойного неравенства:
-1/2 < x < 2
Таким образом, при значениях переменной x, лежащих в интервале (-1/2, 2), выполняется данное двойное неравенство.
4) -2 ≤ x^2 - 4x < 5:
Разбиваем данное двойное неравенство на два неравенства:
-2 ≤ x^2 - 4x и x^2 - 4x < 5
Первое неравенство: -2 ≤ x^2 - 4x
Выражение x^2 - 4x можно факторизовать: x(x - 4)
Получается два случая:
1) x ≤ 0
2) x - 4 ≥ 0, что равносильно x ≥ 4
Второе неравенство: x^2 - 4x < 5
Выражение x^2 - 4x - 5 < 0 также можно факторизовать: (x - 5)(x + 1)
Получается три случая:
1) x - 5 < 0, что равносильно x < 5
2) x + 1 > 0, что равносильно x > -1
3) x - 5 > 0, что равносильно x > 5
Сочетая все полученные условия, мы получаем решение исходного двойного неравенства:
-1 < x ≤ 0, или 4 ≤ x < 5
Таким образом, при значениях переменной x, лежащих в интервале (-1, 0] или [4, 5), выполняется данное двойное неравенство.
Надеюсь, что данное подробное объяснение помогло вам понять, как найти значения переменной x, при которых выполняются данные двойные неравенства. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!
sin(a-b) означает синус разности двух чисел a и b.
tga и tgb обозначают тангенсы углов a и b соответственно.
Сначала распишем sin(a-b):
sin(a-b) = sin(a) * cos(b) - cos(a) * sin(b)
Теперь перейдем к выражению tga - tgb. Для начала заменим каждое выражение на его определение:
tga = sin(a) / cos(a)
tgb = sin(b) / cos(b)
Теперь можем записать:
tga - tgb = (sin(a) / cos(a)) - (sin(b) / cos(b))
Для удобства объединим в общий знаменатель:
tga - tgb = (sin(a) * cos(b) - sin(b) * cos(a)) / (cos(a) * cos(b))
Итак, мы получили упрощенное выражение для tga - tgb.
Теперь, чтобы упростить начальное выражение sin(a-b) / (tga - tgb), мы можем заменить sin(a-b) и tga - tgb полученными выражениями:
sin(a-b) / (tga - tgb) = (sin(a) * cos(b) - cos(a) * sin(b)) / (sin(a) * cos(b) - sin(b) * cos(a)) / (cos(a) * cos(b))
Можно заметить, что в числителе и знаменателе есть одинаковые слагаемые sin(a) * cos(b) и sin(b) * cos(a). Мы можем сократить их:
= (sin(a) * cos(b) - cos(a) * sin(b)) / (cos(a) * cos(b))
= sin(a) * cos(b) / (cos(a) * cos(b))
Теперь сокращаем cos(b) в числителе и знаменателе:
= sin(a) / cos(a)
Итак, мы получили упрощенное выражение для sin(a-b) / (tga - tgb), которое равно sin(a) / cos(a).
В этом ответе я подробно объяснил каждый шаг упрощения выражения и обосновал его применение. Так как начальное выражение было сложным, я разделил его на более простые составляющие и упростил их поочередно. Пояснения и обоснования помогут школьнику понять логику упрощения и применение математических свойств и формул.