Нужно раскрыть скобки: (a − 1)(a^8 + 1)(a^2 + 1)(a^4 + 1)(a + 1)

A=4k+3, k∈Z - все числа  при делении которых на 4 получаем остаток 3.

Найдём из a=4k+3, все числа при делении на 3 которых получаем остаток 2.

По отношению к делимости на 3 всё множество чисел k можно разбить на три класса: числа вида 3n, 3n+1 ,3n+2. Других целых k нет.

Если k=3n, то 4*(3n)+3=(12n+3)+0 - остаток 0 при делении на 3
Если k=3n+1, то 4*(3n+1)+3=(12n+3)+1 - остаток 1 при делении на 3.
Если k=3n+2, то 4*(3n+2)+3=(12n+9)+2 - остаток 2 при делении на 3.

Получаем 12n+11=(12n+10)+1.
(12n+10)+1 при делении на 2 всегда получаем остаток 1.

ответ: 12n+11, n∈Z

Объяснение:Представим исходное дифференциальное уравнение в виде:

y'+2y/x=y² *Sin(x)

Найти общее решение уравнения

y'+2*y/x=y² *sin(x)

Это уравнение Бернулли при n=2.

Разделив обе части уравнения на y² получаем:

y'/y²+2/(x·y)=sin(x)

Делаем замену: z=1/y

Тогда z' = -1/y2

и поэтому уравнение переписывается в виде

-z'+2·z/x=sin(x)

Решаем это уравнение методом вариации произвольной постоянной.

Представим в виде:

-z'+2·z/x = sin(x)

Это неоднородное уравнение. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение:

-z'+2*z/x= 0

1. Решая его, получаем:

z' = 2·z/x     dz/dx=2z/x  dz/z= 2dx/x

Интегрируя, получаем:   ∫dz/z= 2∫dx/x

ln(z) = 2·ln(x)+lnC    ln(z) = ln(x²)+lnC

z = Cx²  

Ищем теперь решение исходного уравнения в виде:

z(x) = C(x)·x²,    z'(x) = C'(x)·x²+C(x)·(x²)'

-2·C(x)·x-C'(x) ·x²+2·z/x=sin(x)

-C'(x)·x² = sin(x)

или    C'(x) = -sin(x)/x²

Интегрируя, получаем:    C(x)=-∫Sin(x)/x² dx = (нтегрируем по частям) =С+ln(x)- ln(x²)/2+Sin(x)/x

Из условия z(x)=C(x)*x2, получаем:

z(x) = C(x)·x² = x²·(C+ln(x)-ln(x²)/2+0(x)+sin(x)/x)

или      z = C·x²+x²·ln(x)-x²·ln(x²)/2 +x·sin(x)

Поскольку z=1/y, то получим:

1/y=C·x2+x2·ln(x)-x2·ln(x2)/2 +x·sin(x)                                                       ответ: 1/у= C·x2+x2·ln(x)-x2·ln(x2)/2 +x·sin(x)