Объясните подробно, а главное понятно, теорему безу. - вопрос №1735699 от terentevvadim33 07.01.2022 11:48

Question

Алгебра: Объясните подробно, а главное понятно, теорему безу. желательно на примерах. p.s. от руки, не пишите! или пишите, разборчивым почерком.

terentevvadim33 · Answer

Теорема Безу.Остаток от деления полинома P_n(x)

на двучлен х-а равен значению этого полинома при х=а, то есть R=P_n(a).

Доказательство. Пусть при делении полинома P_n(x)

на двучлен х-а в частном получен многочлен $Q_{n-1}(x)$ ,а в остатке - число R ( R не содержит переменной х как дклитель первой степени относительно х). Тогда согласно правилу деления многочленов с остатком можно записать
$P_n(x)=(x-a)Q_{n-1}(x)+R.$
Отсюда при х=а получаем P_n(a)=R,

что и требовалось доказать.
Следствие. Остаток от деления полинома P_n(x)

на двучлен ах+в равен значению этого полинома при $x=-\frac{b}{a}\to R=P_n(-\frac{b}{a})$ .
Примеры. 1) Найти остаток от деления многочлена x^3-3x^2+6x-5

на двучлен х-2.
По теореме Безу
$R=P_3(2)=2^3-3\cdot 2^2+6\cdot 2-5=3.$
2) При каком значении а многочлен x^4+ax^3+3x^2-4x-4

делится без остатка на двучлен х-2 ?
Найдём остаток
R=P_4(2)=16+8a+12-8-4=8a+16

и приравняем его нулю: 8а+16=0, а=-2.