A) Lim f(x)=3 (х стремится к 2 ) и f(2)=3 Условие означает, что функция непрерывна в точке х=2 cм. рисунок в приложении
б)lim f(x)=4 (х стремится к -6) означает, что функция имеет предел в точке х=-6, но в самой точке х=-6 не определена. см. рисунок в приложении
lim f(x)=0 (х стремится к минус беск.) означает, что функция имеет горизонтальную асимптоту у=0 ( ось Ох ) на -∞
в)lim f(x)=4 (x стремится к -1) означает, что функция имеет предел в точке х=-1, равный 4. f(-1) не существует значит точка (-1;4) выколота. см. рисунок в приложении г)lim f(x)=-1 (х стремится к 3) означает, что функция имеет предел в точке х=3, равный -1 функция в точке х=-1 не определена. Точка (-1;3) выколота.
lim f(x)= -5 (х стремится к +беск.) означает, что функция имеет асимптоту у=-5 на +∞ см. рисунок в приложении
Минимум суммы двух модулей достигается тогда, когда где все модули раскрываются так, что функция превращается в константу (все иксы уничтожаются). Для этого, очевидно, один модуль должен раскрываться с плюсом, а второй с минусом. То есть сумма модулей |x-a|+|x-b|, где a≤b имеет минимум равный b-a, когда x∈[a; b], а во всех остальных случаях |x-a|+|x-b|>b-a. Это можно обобщить и для большего числа модулей. У нас есть функция: y=|x-1|+|x-2|+...+|x-n| Минимум |x-1|+|x-n| достигается при любом x∈[1; n] и равен n-1 Минимум |x-2|+|x-(n-1)| равен n-1-2=n-3 Если мы будем так продолжать, то либо раскроем все модули и останется константа, которая и будет минимумом, либо останется один единственный модуль и минимум будет там где он равен нулю, причем этот модуль будет стоять точнехонько в серединке. Легко сообразить что первый случай будет иметь место при четных n, а второй при нечетных. Теперь решаем. Пусть n - четное число. Тогда минимум будет равен n-1+n-1-2+n-1-3+...n/2+1-n/2 Это арифметическая прогрессия в которой n/2 членов. Найдем ее сумму: S=(n-1+1)*n/4=n²/4 Это и есть максимум функции при четных n. Если n нечетное, то прогрессия будет выглядеть так: n-1-1+n-1-2+n-1-3+...(n-1)/2+1-(n-1)/2+1 В ней (n-1)/2 членов и ее сумма S=(n+1)(n-1)/4=(n²-1)/4. Если что то непонятно, пиши - попробую пояснить.
Условие означает, что функция непрерывна в точке х=2
cм. рисунок в приложении
б)lim f(x)=4 (х стремится к -6)
означает, что функция имеет предел в точке х=-6, но в самой точке х=-6 не определена.
см. рисунок в приложении
lim f(x)=0 (х стремится к минус беск.) означает, что функция имеет горизонтальную асимптоту у=0 ( ось Ох ) на -∞
в)lim f(x)=4 (x стремится к -1) означает, что функция имеет предел в точке х=-1, равный 4.
f(-1) не существует значит точка (-1;4) выколота.
см. рисунок в приложении
г)lim f(x)=-1 (х стремится к 3) означает, что функция имеет предел в точке х=3, равный -1
функция в точке х=-1 не определена. Точка (-1;3) выколота.
lim f(x)= -5 (х стремится к +беск.) означает, что функция имеет асимптоту у=-5 на +∞
см. рисунок в приложении
То есть сумма модулей |x-a|+|x-b|, где a≤b имеет минимум равный b-a, когда x∈[a; b], а во всех остальных случаях |x-a|+|x-b|>b-a. Это можно обобщить и для большего числа модулей. У нас есть функция:
y=|x-1|+|x-2|+...+|x-n|
Минимум |x-1|+|x-n| достигается при любом x∈[1; n] и равен n-1
Минимум |x-2|+|x-(n-1)| равен n-1-2=n-3
Если мы будем так продолжать, то либо раскроем все модули и останется константа, которая и будет минимумом, либо останется один единственный модуль и минимум будет там где он равен нулю, причем этот модуль будет стоять точнехонько в серединке. Легко сообразить что первый случай будет иметь место при четных n, а второй при нечетных.
Теперь решаем. Пусть n - четное число.
Тогда минимум будет равен n-1+n-1-2+n-1-3+...n/2+1-n/2
Это арифметическая прогрессия в которой n/2 членов. Найдем ее сумму:
S=(n-1+1)*n/4=n²/4
Это и есть максимум функции при четных n.
Если n нечетное, то прогрессия будет выглядеть так:
n-1-1+n-1-2+n-1-3+...(n-1)/2+1-(n-1)/2+1
В ней (n-1)/2 членов и ее сумма S=(n+1)(n-1)/4=(n²-1)/4.
Если что то непонятно, пиши - попробую пояснить.