1. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусов.
- Обоснование: В прямоугольном треугольнике один из углов равен 90 градусов, так как это определяет прямой угол. Сумма углов в треугольнике всегда равна 180 градусов, поэтому два острых угла должны равняться 90 градусов вместе.
2. В прямоугольном треугольнике, если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30 градусов.
- Обоснование: Пусть катет равен "x", а гипотенуза равна "2x" (так как катет равен половине гипотенузы). В прямоугольном треугольнике используется тригонометрический соотношение: тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету. В данном случае, тангенс угла равен (x/2x), что равно 1/2. Арктангенс (обратная функция тангенсу) от 1/2 равен 30 градусам.
3. Изобразите прямоугольный треугольник и подпишите на чертеже названия сторон прямоугольного треугольника.
- Обобщение: Прямоугольный треугольник состоит из одного прямого угла и двух острых углов. Один из острых углов называется углом A, второй угол называется углом B, а прямой угол называется углом C. Стороны прямоугольного треугольника называются гипотенуза (противолежащая прямому углу), катеты (прилежащие к прямому углу).
4. Один из острых углов прямоугольного треугольника в 2 раза больше другого. Найдите острые углы этого треугольника.
- Решение: Пусть один из острых углов равен "x" градусов. Тогда второй острый угол будет равен 2x градусов. Сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусов. Таким образом, у нас есть угол x + угол 2x + прямой угол (90 градусов), которые в сумме дают 180 градусов.
x + 2x + 90 = 180
3x + 90 = 180
3x = 180 - 90
3x = 90
x = 90 / 3
x = 30
Таким образом, один острый угол равен 30 градусов, а другой острый угол равен 2 * 30 = 60 градусов.
5. Один из внешних углов прямоугольного треугольника равен 134 градусам. Тогда меньший угол треугольника равен 46 градусов.
- Обоснование: Внешний угол прямоугольного треугольника равен сумме двух острых углов треугольника. Таким образом, у нас есть угол A + угол B + 134 = 180. Зная, что углы A и B равны 90 и 46 градусов соответственно, можно найти второй угол треугольника:
90 + 46 + 134 = 180
180 + 46 + 134 = 360 (общая сумма углов в треугольнике)
360 - 180 = 180
180 = 180
6. Треугольник с двумя прямыми углами не существует.
- Обоснование: В треугольнике сумма всех углов всегда равна 180 градусов. Прямые углы по 90 градусов каждый уже дают общую сумму 180 градусов. Если бы в треугольнике было два прямых угла, общая сумма углов превысила бы 180 градусов, что невозможно.
7. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против большего угла, называется гипотенуза.
- Обоснование: В прямоугольном треугольнике есть один прямой угол и два острых угла. Гипотенуза является наибольшей стороной прямоугольного треугольника и расположена противолежащей прямому углу.
8. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету другого, то эти треугольники равны.
- Обоснование: Если два треугольника имеют соответственно равные стороны, то они равны (по теореме совпадения по стороне (СС)). В данном случае, катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету другого треугольника, следовательно, эти треугольники равны.
9. В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 30 градусам, а противолежащий ему катет равен 6 см. Чему равна гипотенуза?
- Решение: Для нахождения гипотенузы можно использовать теорему Пифагора. В прямоугольном треугольнике гипотенуза в квадрате равна сумме квадратов катетов.
Пусть гипотенуза равна "c" см.
Тогда, по теореме Пифагора: c^2 = (6^2) + (h^2), где h - противолежащий катет.
c^2 = 36 + h^2
Зная, что один острый угол равен 30 градусам, значит, противолежащий катет равен 6 см, можно подставить это значение в уравнение:
c^2 = 36 + 6^2
c^2 = 36 + 36
c^2 = 72
c = √72
c ≈ 8,48 см
Таким образом, гипотенуза прямоугольного треугольника примерно равна 8,48 см.
10. Чтобы найти углы равнобедренного прямоугольного треугольника, можно использовать следующее соотношение:
- Обоснование: В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при основании равны между собой и равны по 45 градусов, а прямой угол равен 90 градусов. Таким образом, углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны 45, 45 и 90 градусов.
11. В треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, угол В равен 60 градусов, СВ = 6 см. Чему равна сторона АВ?
- Решение: В прямоугольном треугольнике использование теоремы синусов или теоремы косинусов для нахождения стороны. В данном случае, можно использовать теорему косинусов, поскольку нам даны два угла и противолежащая сторона.
Пусть сторона АВ равна "x" см.
Тогда, по теореме косинусов: 6^2 = x^2 + (x√3/2)^2
36 = x^2 + (3/4)x^2
36 = (7/4)x^2
x^2 = 144 * (4/7)
x^2 = 576 / 7
x = √(576 / 7)
x ≈ 10,991 см
Таким образом, сторона АВ примерно равна 10,991 см.
12. В треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, АВ= 15 см, СВ = 7,5 см. Чему равен угол В?
- Решение: В прямоугольном треугольнике используется теорема тангенсов. Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.
В данном случае, тангенс угла В равен противолежащему катету СВ (7,5 см) к прилежащему катету АВ (15 см).
Тангенс угла В = СВ / АВ = 7,5 / 15 = 0,5
Таким образом, тангенс угла В равен 0,5. Чтобы найти величину угла В, нужно применить обратную функцию тангенса (арктангенс) к 0,5.
Угол В = арктангенс (0,5)
Угол В ≈ 26,57 градусов
Таким образом, угол В примерно равен 26,57 градусов.
Для решения задач с вероятностью нам потребуется знание основных формул. Вероятность события A обозначается P(A) и вычисляется по формуле:
P(A) = Количество благоприятных исходов / Общее количество возможных исходов
Теперь рассмотрим каждую задачу по очереди.
1) Доля брака при производстве процессоров составляет 0,05%. С какой вероятностью процессор только что купленного компьютера окажется исправным?
Доля брака составляет 0,05%, а значит исправных процессоров - 100% - 0,05% = 99,95%. Следовательно, вероятность того, что процессор окажется исправным, составляет 0,9995.
Ответ: г) 0,9995
2) Из слова "ЭКЗАМЕН" случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется гласной?
В слове "ЭКЗАМЕН" есть 3 гласные буквы (Э, А, Е) и 4 согласные (К, З, М, Н). Общее количество букв - 7. Таким образом, вероятность выбора гласной буквы составляет 3/7.
Ответ: 3/7
3) Из класса, в котором учатся 15 мальчиков и 10 девочек, выбирают по жребию одного дежурного. Какова вероятность того, что это будет девочка?
В классе всего 25 учеников, из которых 10 девочек. Соответственно, вероятность выбора девочки составляет 10/25.
Ответ: 10/25
4) Одновременно бросают 2 монеты. С какой вероятностью на них выпадут два орла?
На каждой монете может выпасть орел или решка, всего 2 возможных исхода. Количество всех возможных исходов при броске двух монет составляет 2 * 2 = 4. Только один из этих исходов соответствует выпадению двух орлов. Следовательно, вероятность выпадения двух орлов составляет 1/4.
Ответ: 1/4
5) Из коробки, в которой а белых и в черных шаров, наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что он будет белым?
Общее количество возможных исходов равно сумме количества белых и черных шаров. Пусть общее количество шаров равно n, и число белых шаров равно а. Вероятность выбора белого шара составляет а/n.
Ответ: а/n
6) В ящике 2 красных и 2 синих шара. Из него, не глядя, вынимают два шара. Какова вероятность того, что они будут разного цвета?
Поочередно выбираем два шара из ящика. Вероятность выбора первого шара любого цвета не зависит от цвета второго шара. Первый шар может быть красным или синим, поэтому вероятность выбора первого шара любого цвета составляет 1. Вероятность выбора второго шара другого цвета составляет (2/3) * (2/4), так как при выборе второго шара находится на один шар меньше. Поэтому общая вероятность составляет 1 * (2/3) * (2/4) = 1/3.
Ответ: 1/3
7) Подбрасывают два игральных кубика. Какова вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков?
У игрального кубика 6 граней с числами от 1 до 6. Чтобы в сумме выпала 5, существует 4 комбинации: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1). Общее количество возможных исходов при двух подбрасываниях кубиков равно 6 * 6 = 36. Таким образом, вероятность выпадения суммы 5 составляет 4/36 = 1/9.
Ответ: 1/9
8) Карточки с цифрами 1,2,3,4,5 перемешивают и выкладывают в ряд. Какова вероятность того, что получится четное число?
Из всех возможных перестановок цифр 1,2,3,4,5 лишь половина будет являться четными числами. Таким образом, вероятность получения четного числа составляет 1/2.
- Обоснование: В прямоугольном треугольнике один из углов равен 90 градусов, так как это определяет прямой угол. Сумма углов в треугольнике всегда равна 180 градусов, поэтому два острых угла должны равняться 90 градусов вместе.
2. В прямоугольном треугольнике, если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30 градусов.
- Обоснование: Пусть катет равен "x", а гипотенуза равна "2x" (так как катет равен половине гипотенузы). В прямоугольном треугольнике используется тригонометрический соотношение: тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету. В данном случае, тангенс угла равен (x/2x), что равно 1/2. Арктангенс (обратная функция тангенсу) от 1/2 равен 30 градусам.
3. Изобразите прямоугольный треугольник и подпишите на чертеже названия сторон прямоугольного треугольника.
- Обобщение: Прямоугольный треугольник состоит из одного прямого угла и двух острых углов. Один из острых углов называется углом A, второй угол называется углом B, а прямой угол называется углом C. Стороны прямоугольного треугольника называются гипотенуза (противолежащая прямому углу), катеты (прилежащие к прямому углу).
4. Один из острых углов прямоугольного треугольника в 2 раза больше другого. Найдите острые углы этого треугольника.
- Решение: Пусть один из острых углов равен "x" градусов. Тогда второй острый угол будет равен 2x градусов. Сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусов. Таким образом, у нас есть угол x + угол 2x + прямой угол (90 градусов), которые в сумме дают 180 градусов.
x + 2x + 90 = 180
3x + 90 = 180
3x = 180 - 90
3x = 90
x = 90 / 3
x = 30
Таким образом, один острый угол равен 30 градусов, а другой острый угол равен 2 * 30 = 60 градусов.
5. Один из внешних углов прямоугольного треугольника равен 134 градусам. Тогда меньший угол треугольника равен 46 градусов.
- Обоснование: Внешний угол прямоугольного треугольника равен сумме двух острых углов треугольника. Таким образом, у нас есть угол A + угол B + 134 = 180. Зная, что углы A и B равны 90 и 46 градусов соответственно, можно найти второй угол треугольника:
90 + 46 + 134 = 180
180 + 46 + 134 = 360 (общая сумма углов в треугольнике)
360 - 180 = 180
180 = 180
6. Треугольник с двумя прямыми углами не существует.
- Обоснование: В треугольнике сумма всех углов всегда равна 180 градусов. Прямые углы по 90 градусов каждый уже дают общую сумму 180 градусов. Если бы в треугольнике было два прямых угла, общая сумма углов превысила бы 180 градусов, что невозможно.
7. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против большего угла, называется гипотенуза.
- Обоснование: В прямоугольном треугольнике есть один прямой угол и два острых угла. Гипотенуза является наибольшей стороной прямоугольного треугольника и расположена противолежащей прямому углу.
8. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету другого, то эти треугольники равны.
- Обоснование: Если два треугольника имеют соответственно равные стороны, то они равны (по теореме совпадения по стороне (СС)). В данном случае, катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету другого треугольника, следовательно, эти треугольники равны.
9. В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 30 градусам, а противолежащий ему катет равен 6 см. Чему равна гипотенуза?
- Решение: Для нахождения гипотенузы можно использовать теорему Пифагора. В прямоугольном треугольнике гипотенуза в квадрате равна сумме квадратов катетов.
Пусть гипотенуза равна "c" см.
Тогда, по теореме Пифагора: c^2 = (6^2) + (h^2), где h - противолежащий катет.
c^2 = 36 + h^2
Зная, что один острый угол равен 30 градусам, значит, противолежащий катет равен 6 см, можно подставить это значение в уравнение:
c^2 = 36 + 6^2
c^2 = 36 + 36
c^2 = 72
c = √72
c ≈ 8,48 см
Таким образом, гипотенуза прямоугольного треугольника примерно равна 8,48 см.
10. Чтобы найти углы равнобедренного прямоугольного треугольника, можно использовать следующее соотношение:
- Обоснование: В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при основании равны между собой и равны по 45 градусов, а прямой угол равен 90 градусов. Таким образом, углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны 45, 45 и 90 градусов.
11. В треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, угол В равен 60 градусов, СВ = 6 см. Чему равна сторона АВ?
- Решение: В прямоугольном треугольнике использование теоремы синусов или теоремы косинусов для нахождения стороны. В данном случае, можно использовать теорему косинусов, поскольку нам даны два угла и противолежащая сторона.
Пусть сторона АВ равна "x" см.
Тогда, по теореме косинусов: 6^2 = x^2 + (x√3/2)^2
36 = x^2 + (3/4)x^2
36 = (7/4)x^2
x^2 = 144 * (4/7)
x^2 = 576 / 7
x = √(576 / 7)
x ≈ 10,991 см
Таким образом, сторона АВ примерно равна 10,991 см.
12. В треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, АВ= 15 см, СВ = 7,5 см. Чему равен угол В?
- Решение: В прямоугольном треугольнике используется теорема тангенсов. Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.
В данном случае, тангенс угла В равен противолежащему катету СВ (7,5 см) к прилежащему катету АВ (15 см).
Тангенс угла В = СВ / АВ = 7,5 / 15 = 0,5
Таким образом, тангенс угла В равен 0,5. Чтобы найти величину угла В, нужно применить обратную функцию тангенса (арктангенс) к 0,5.
Угол В = арктангенс (0,5)
Угол В ≈ 26,57 градусов
Таким образом, угол В примерно равен 26,57 градусов.
P(A) = Количество благоприятных исходов / Общее количество возможных исходов
Теперь рассмотрим каждую задачу по очереди.
1) Доля брака при производстве процессоров составляет 0,05%. С какой вероятностью процессор только что купленного компьютера окажется исправным?
Доля брака составляет 0,05%, а значит исправных процессоров - 100% - 0,05% = 99,95%. Следовательно, вероятность того, что процессор окажется исправным, составляет 0,9995.
Ответ: г) 0,9995
2) Из слова "ЭКЗАМЕН" случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется гласной?
В слове "ЭКЗАМЕН" есть 3 гласные буквы (Э, А, Е) и 4 согласные (К, З, М, Н). Общее количество букв - 7. Таким образом, вероятность выбора гласной буквы составляет 3/7.
Ответ: 3/7
3) Из класса, в котором учатся 15 мальчиков и 10 девочек, выбирают по жребию одного дежурного. Какова вероятность того, что это будет девочка?
В классе всего 25 учеников, из которых 10 девочек. Соответственно, вероятность выбора девочки составляет 10/25.
Ответ: 10/25
4) Одновременно бросают 2 монеты. С какой вероятностью на них выпадут два орла?
На каждой монете может выпасть орел или решка, всего 2 возможных исхода. Количество всех возможных исходов при броске двух монет составляет 2 * 2 = 4. Только один из этих исходов соответствует выпадению двух орлов. Следовательно, вероятность выпадения двух орлов составляет 1/4.
Ответ: 1/4
5) Из коробки, в которой а белых и в черных шаров, наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что он будет белым?
Общее количество возможных исходов равно сумме количества белых и черных шаров. Пусть общее количество шаров равно n, и число белых шаров равно а. Вероятность выбора белого шара составляет а/n.
Ответ: а/n
6) В ящике 2 красных и 2 синих шара. Из него, не глядя, вынимают два шара. Какова вероятность того, что они будут разного цвета?
Поочередно выбираем два шара из ящика. Вероятность выбора первого шара любого цвета не зависит от цвета второго шара. Первый шар может быть красным или синим, поэтому вероятность выбора первого шара любого цвета составляет 1. Вероятность выбора второго шара другого цвета составляет (2/3) * (2/4), так как при выборе второго шара находится на один шар меньше. Поэтому общая вероятность составляет 1 * (2/3) * (2/4) = 1/3.
Ответ: 1/3
7) Подбрасывают два игральных кубика. Какова вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков?
У игрального кубика 6 граней с числами от 1 до 6. Чтобы в сумме выпала 5, существует 4 комбинации: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1). Общее количество возможных исходов при двух подбрасываниях кубиков равно 6 * 6 = 36. Таким образом, вероятность выпадения суммы 5 составляет 4/36 = 1/9.
Ответ: 1/9
8) Карточки с цифрами 1,2,3,4,5 перемешивают и выкладывают в ряд. Какова вероятность того, что получится четное число?
Из всех возможных перестановок цифр 1,2,3,4,5 лишь половина будет являться четными числами. Таким образом, вероятность получения четного числа составляет 1/2.
Ответ: 1/2
Продолжение в следующем сообщении...