Для доказательства монотонности функции нужно вычислить производную и проанализировать ее знак на всей числовой прямой.
1. Функция y = x^9 + 4x^3 + 1x - 10
Для доказательства возрастания функции нужно показать, что ее производная положительна на всей числовой прямой.
Вычислим производную функции y по переменной x:
y' = 9x^8 + 12x^2 + 1
Теперь решим неравенство y' > 0:
9x^8 + 12x^2 + 1 > 0
Поскольку степени положительны, рассмотрим возможные значения для x:
- Если x > 0, то все слагаемые будут положительными, следовательно, неравенство выполняется.
- Если x = 0, все слагаемые равны нулю, но это не противоречит неравенству.
- Если x < 0, тогда первое и третье слагаемые будут положительными, а второе слагаемое отрицательным, но сумма все равно положительная.
Таким образом, производная положительна на всей числовой прямой, что означает, что функция y возрастает на всей числовой прямой.
2. Функция y = cos(5x) - 7x
Для доказательства убывания функции нужно показать, что ее производная отрицательна на всей числовой прямой.
Вычислим производную функции y по переменной x:
y' = -5sin(5x) - 7
Теперь решим неравенство y' < 0:
-5sin(5x) - 7 < 0
Поскольку sin(5x) может принимать значения в интервале [-1, 1], рассмотрим возможные значения для x:
- Если sin(5x) > 0, то неравенство не выполняется.
- Если sin(5x) = 0, то неравенство выполняется при x = 0.
- Если sin(5x) < 0, то неравенство выполняется при любых значениях x.
Таким образом, производная отрицательна на всей числовой прямой, что означает, что функция y убывает на всей числовой прямой.
3. Функция y = 2x^3 + 3x^2 - x + 5
Для исследования монотонности функции на всей числовой прямой, нужно снова вычислить производную и проанализировать ее знак.
Вычислим производную функции y по переменной x:
y' = 6x^2 + 6x - 1
Решим уравнение y' = 0:
6x^2 + 6x - 1 = 0
Применим формулу дискриминанта для нахождения корней уравнения:
Теперь проанализируем знак производной на интервалах:
- Если x < -1.8102, то y' > 0. Значит, функция y возрастает на этом интервале.
- Если -1.8102 < x < -0.1898, то y' < 0. Значит, функция y убывает на этом интервале.
- Если x > -0.1898, то y' > 0. Значит, функция y возрастает на этом интервале.
Таким образом, функция y возрастает на интервалах (-∞, -1.8102) и (-0.1898, +∞) и убывает на интервале (-1.8102, -0.1898).
4. Функция y = 3x^(−1/3) - x^(1/3)
Для исследования монотонности функции на всей числовой прямой, нужно снова вычислить производную и проанализировать ее знак.
1. Функция y = x^9 + 4x^3 + 1x - 10
Для доказательства возрастания функции нужно показать, что ее производная положительна на всей числовой прямой.
Вычислим производную функции y по переменной x:
y' = 9x^8 + 12x^2 + 1
Теперь решим неравенство y' > 0:
9x^8 + 12x^2 + 1 > 0
Поскольку степени положительны, рассмотрим возможные значения для x:
- Если x > 0, то все слагаемые будут положительными, следовательно, неравенство выполняется.
- Если x = 0, все слагаемые равны нулю, но это не противоречит неравенству.
- Если x < 0, тогда первое и третье слагаемые будут положительными, а второе слагаемое отрицательным, но сумма все равно положительная.
Таким образом, производная положительна на всей числовой прямой, что означает, что функция y возрастает на всей числовой прямой.
2. Функция y = cos(5x) - 7x
Для доказательства убывания функции нужно показать, что ее производная отрицательна на всей числовой прямой.
Вычислим производную функции y по переменной x:
y' = -5sin(5x) - 7
Теперь решим неравенство y' < 0:
-5sin(5x) - 7 < 0
Поскольку sin(5x) может принимать значения в интервале [-1, 1], рассмотрим возможные значения для x:
- Если sin(5x) > 0, то неравенство не выполняется.
- Если sin(5x) = 0, то неравенство выполняется при x = 0.
- Если sin(5x) < 0, то неравенство выполняется при любых значениях x.
Таким образом, производная отрицательна на всей числовой прямой, что означает, что функция y убывает на всей числовой прямой.
3. Функция y = 2x^3 + 3x^2 - x + 5
Для исследования монотонности функции на всей числовой прямой, нужно снова вычислить производную и проанализировать ее знак.
Вычислим производную функции y по переменной x:
y' = 6x^2 + 6x - 1
Решим уравнение y' = 0:
6x^2 + 6x - 1 = 0
Применим формулу дискриминанта для нахождения корней уравнения:
D = (6)^2 - 4(6)(-1) = 36 + 24 = 60
x = (-6 ± √60) / (2 * 6)
x = (-6 ± √60) / 12
x1 ≈ -0.1898
x2 ≈ -1.8102
Теперь проанализируем знак производной на интервалах:
- Если x < -1.8102, то y' > 0. Значит, функция y возрастает на этом интервале.
- Если -1.8102 < x < -0.1898, то y' < 0. Значит, функция y убывает на этом интервале.
- Если x > -0.1898, то y' > 0. Значит, функция y возрастает на этом интервале.
Таким образом, функция y возрастает на интервалах (-∞, -1.8102) и (-0.1898, +∞) и убывает на интервале (-1.8102, -0.1898).
4. Функция y = 3x^(−1/3) - x^(1/3)
Для исследования монотонности функции на всей числовой прямой, нужно снова вычислить производную и проанализировать ее знак.
Вычислим производную функции y по переменной x:
y' = -1/3 * 3x^(-4/3) - 1/3 * x^(-2/3)
y' = -1/x^(4/3) - 1/(3x^(2/3))
Упростим выражение:
y' = (-x^(2/3) - 1)/(3x^(4/3))
Решим уравнение y' = 0:
(-x^(2/3) - 1)/(3x^(4/3)) = 0
-x^(2/3) - 1 = 0
x^(2/3) = -1
Так как невозможно взять отрицательное число в степень с нечетным знаменателем, то такое уравнение не имеет действительных корней.
Теперь проанализируем знак производной на интервалах:
- Если x < 0, то y' > 0. Значит, функция y возрастает на этом интервале.
- Если x > 0, то y' < 0. Значит, функция y убывает на этом интервале.
Таким образом, функция y возрастает на интервале (-∞, 0) и убывает на интервале (0, +∞).