ОЧЕНЬ Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f(x)=3x^2-2x^3-5 в точке с абсциссой x0=2 2. Запишите уравнение касательной к графику функции f(x)=2√x+x в точке x0= 1
Добрый день! Рад выступить в роли вашего школьного учителя и помочь вам с этими задачами.
1. Найдем угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = 3x^2 - 2x^3 - 5 в точке с абсциссой x0 = 2.
Для начала нужно найти производную функции f(x) по переменной x. Производная функции покажет нам угловой коэффициент касательной в любой точке x.
f'(x) = d/dx (3x^2 - 2x^3 - 5)
Производная от каждого слагаемого получается путем применения правила дифференцирования каждого слагаемого по отдельности:
f'(x) = d/dx (3x^2) - d/dx (2x^3) - d/dx (5)
f'(x) = 6x - 6x^2
Теперь найдем угловой коэффициент касательной в точке x = 2, подставив x = 2 в выражение для f'(x):
f'(2) = 6(2) - 6(2^2)
= 12 - 6(4)
= 12 - 24
= -12
Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке (2, f(2)) равен -12.
2. Запишем уравнение касательной к графику функции f(x) = 2√x + x в точке x0 = 1.
Аналогично предыдущей задаче, найдем производную функции f(x) по переменной x:
f'(x) = d/dx (2√x + x)
Правило дифференцирования корня: d/dx (√x) = (1/2) * (1/√x)
Применение этого правила к первому слагаемому:
f'(x) = 2 * (1/2) * (1/√x) + 1
= 1/√x + 1
Теперь найдем угловой коэффициент касательной в точке x = 1, подставив x = 1 в выражение для f'(x):
f'(1) = 1/√1 + 1
= 1/1 + 1
= 1 + 1
= 2
Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке (1, f(1)) равен 2.
Чтобы записать уравнение касательной к графику функции, нужна не только угловой коэффициент, но и точка на этой касательной. В наших случаях, точки на касательных имеют вид (2, f(2)) и (1, f(1)).
Запишем уравнение касательной в общем виде: y - y0 = m(x - x0), где m - угловой коэффициент.
1) Уравнение касательной, проходящей через точку (2, f(2)):
y - f(2) = -12(x - 2)
Теперь нужно выразить f(2), подставив x = 2 в исходную функцию:
f(2) = 3(2)^2 - 2(2)^3 - 5
= 12 - 16 - 5
= -9
Подставим значение f(2) в уравнение:
y + 9 = -12(x - 2)
2) Уравнение касательной, проходящей через точку (1, f(1)):
y - f(1) = 2(x - 1)
Аналогично, найдем f(1), подставив x = 1 в исходную функцию:
f(1) = 2√1 + 1
= 2 + 1
= 3
Подставим значение f(1) в уравнение:
y - 3 = 2(x - 1)
Таким образом, уравнения касательных к графикам функций в заданных точках будут:
1) Уравнение касательной к графику функции f(x) = 3x^2 - 2x^3 - 5 в точке (2, -9): y + 9 = -12(x - 2)
2) Уравнение касательной к графику функции f(x) = 2√x + x в точке (1, 3): y - 3 = 2(x - 1)
Надеюсь, эти подробные пояснения помогли вам разобраться с задачами. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их!
1. Найдем угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = 3x^2 - 2x^3 - 5 в точке с абсциссой x0 = 2.
Для начала нужно найти производную функции f(x) по переменной x. Производная функции покажет нам угловой коэффициент касательной в любой точке x.
f'(x) = d/dx (3x^2 - 2x^3 - 5)
Производная от каждого слагаемого получается путем применения правила дифференцирования каждого слагаемого по отдельности:
f'(x) = d/dx (3x^2) - d/dx (2x^3) - d/dx (5)
f'(x) = 6x - 6x^2
Теперь найдем угловой коэффициент касательной в точке x = 2, подставив x = 2 в выражение для f'(x):
f'(2) = 6(2) - 6(2^2)
= 12 - 6(4)
= 12 - 24
= -12
Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке (2, f(2)) равен -12.
2. Запишем уравнение касательной к графику функции f(x) = 2√x + x в точке x0 = 1.
Аналогично предыдущей задаче, найдем производную функции f(x) по переменной x:
f'(x) = d/dx (2√x + x)
Правило дифференцирования корня: d/dx (√x) = (1/2) * (1/√x)
Применение этого правила к первому слагаемому:
f'(x) = 2 * (1/2) * (1/√x) + 1
= 1/√x + 1
Теперь найдем угловой коэффициент касательной в точке x = 1, подставив x = 1 в выражение для f'(x):
f'(1) = 1/√1 + 1
= 1/1 + 1
= 1 + 1
= 2
Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке (1, f(1)) равен 2.
Чтобы записать уравнение касательной к графику функции, нужна не только угловой коэффициент, но и точка на этой касательной. В наших случаях, точки на касательных имеют вид (2, f(2)) и (1, f(1)).
Запишем уравнение касательной в общем виде: y - y0 = m(x - x0), где m - угловой коэффициент.
1) Уравнение касательной, проходящей через точку (2, f(2)):
y - f(2) = -12(x - 2)
Теперь нужно выразить f(2), подставив x = 2 в исходную функцию:
f(2) = 3(2)^2 - 2(2)^3 - 5
= 12 - 16 - 5
= -9
Подставим значение f(2) в уравнение:
y + 9 = -12(x - 2)
2) Уравнение касательной, проходящей через точку (1, f(1)):
y - f(1) = 2(x - 1)
Аналогично, найдем f(1), подставив x = 1 в исходную функцию:
f(1) = 2√1 + 1
= 2 + 1
= 3
Подставим значение f(1) в уравнение:
y - 3 = 2(x - 1)
Таким образом, уравнения касательных к графикам функций в заданных точках будут:
1) Уравнение касательной к графику функции f(x) = 3x^2 - 2x^3 - 5 в точке (2, -9): y + 9 = -12(x - 2)
2) Уравнение касательной к графику функции f(x) = 2√x + x в точке (1, 3): y - 3 = 2(x - 1)
Надеюсь, эти подробные пояснения помогли вам разобраться с задачами. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их!