F(x)=-x³+3x²-4. 1. Область определения функции: x∈R (функция определена на x∈(-∞;+∞). 2. Четность/нечетность: f(-x)=-(-x)³+3(-x)²-4=x³+3x²-4≠f(x)≠-f(x) - функция ни четная, ни нечетная. 3. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения. 4. Поведение функции при x→+-∞: при x→-∞, f(x)→+∞; при x→+∞, f(x)→-∞. 5. Производная функции: f'(x)=(-x³+3x²-4)'=-(x³)'+3*(x²)'-4'=-3x²+3*2x-0=-3x²+6x. 6. Экстремумы функции: f'(x)=0, -3x²+6x=0 ⇒ x²-2x=0 ⇒ x(x-2)=0 ⇒ x=0 и x=2. 7. Монотонность (промежутки возрастания и убывания) функции: при x∈(-∞;0], f'(x)<0 - функция убывает, при x∈[0;2], f'(x)>0 - функция возрастает, при x∈[2;+∞), f'(x)<0 - функция убывает. Следовательно x=0 - точка минимума, x=2 - точка максимума. 8. Пересечение графика функции с осями координат: с осью абсцисс, f(x)=0 ⇒ -x³+3x²-4=0 ⇒ x=-1 и x=2, получим точки (-1;0) и (2;0); с осью ординат, x=0, f(x)=-4, получим точку (0;-4). 9.График нарисуешь сам
То, что я пишу не совсем объяснение, это больше алгоритм, по которому решаются данные уравнения. Эти уравнения - уравнения второй степени вида а*х^2+b*x+c=0, где х - это неизвестный корень, a, b, c - какие-то числа. Чтобы найти корни можно воспользоваться теоремой Виета ( х1+х2=-b; x1*x2=c, где х1 и х2 - корни), но намного надежнее использовать дискриминант. Так же теорема Виета подходит только тогда, когда а=1. Дискриминант обозначается D и находится по формуле D=(-b)^2 - 4*a*c. Он может быть больше, меньше и равен нулю. Если D больше нуля, то выражение имеет 2 корня, если нулю, то 1 и он всегда равен нулю, если меньше нуля, то корней нет. После нахождения дискриминанта надо подставить корень из него (я буду обозначать это как D^1/2) в эти выражения: x1=(-b + D^1/2)/2a, x2=(-b-D^1/2)/2a. Таким образом мы находим корни уравнения.
2) через теорему Виета х^2+5x-14=0 (a=1, b=5, c=-14)
x1+x2=-1*5 x1*x2=-14
x1+x2=-5 x1*x2=-14
Теперь подбираем возможные корни. Тк это система мы можем выразить один х через другой. Но в данном случае все находится очень просто, х1 будет 2, а х2 равен -7. Можно подставить и проверить.
3) Попробуй решить последнее самостоятельно. Оно решается так же как придыдущие, но если хочешь немного упростить себе задачу и не запутаться, то домножь все на -1, чтобы минус в начале ушел. Получится х^2-3х-4=0.
1. Область определения функции: x∈R (функция определена на x∈(-∞;+∞).
2. Четность/нечетность: f(-x)=-(-x)³+3(-x)²-4=x³+3x²-4≠f(x)≠-f(x) - функция ни четная, ни нечетная.
3. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.
4. Поведение функции при x→+-∞: при x→-∞, f(x)→+∞; при x→+∞, f(x)→-∞.
5. Производная функции: f'(x)=(-x³+3x²-4)'=-(x³)'+3*(x²)'-4'=-3x²+3*2x-0=-3x²+6x.
6. Экстремумы функции: f'(x)=0, -3x²+6x=0 ⇒ x²-2x=0 ⇒ x(x-2)=0 ⇒ x=0 и x=2.
7. Монотонность (промежутки возрастания и убывания) функции: при x∈(-∞;0], f'(x)<0 - функция убывает, при x∈[0;2], f'(x)>0 - функция возрастает, при x∈[2;+∞), f'(x)<0 - функция убывает. Следовательно x=0 - точка минимума, x=2 - точка максимума.
8. Пересечение графика функции с осями координат: с осью абсцисс, f(x)=0 ⇒ -x³+3x²-4=0 ⇒ x=-1 и x=2, получим точки (-1;0) и (2;0); с осью ординат, x=0, f(x)=-4, получим точку (0;-4).
9.График нарисуешь сам
Чтобы найти корни можно воспользоваться теоремой Виета ( х1+х2=-b; x1*x2=c, где х1 и х2 - корни), но намного надежнее использовать дискриминант. Так же теорема Виета подходит только тогда, когда а=1.
Дискриминант обозначается D и находится по формуле
D=(-b)^2 - 4*a*c. Он может быть больше, меньше и равен нулю. Если D больше нуля, то выражение имеет 2 корня, если нулю, то 1 и он всегда равен нулю, если меньше нуля, то корней нет.
После нахождения дискриминанта надо подставить корень из него (я буду обозначать это как D^1/2) в эти выражения: x1=(-b + D^1/2)/2a,
x2=(-b-D^1/2)/2a. Таким образом мы находим корни уравнения.
Рассмотрим на примерах
1)через дискриминант
х^2-3х-18=0
(a=1, b=-3, c=-18)
D=3^2-4*1*(-18)=9+72=81
D^1/2=9
x1 = (-(-3)+9)/2*1 = (3+9)/2 = 12/2 =6
x2 = (-(-3)-9)/2*1 = (3-9)/2= -6/2 = -3
ответ: корнями являются х1=6 и х2=-3
2) через теорему Виета
х^2+5x-14=0
(a=1, b=5, c=-14)
x1+x2=-1*5
x1*x2=-14
x1+x2=-5
x1*x2=-14
Теперь подбираем возможные корни. Тк это система мы можем выразить один х через другой. Но в данном случае все находится очень просто, х1 будет 2, а х2 равен -7. Можно подставить и проверить.
3) Попробуй решить последнее самостоятельно. Оно решается так же как придыдущие, но если хочешь немного упростить себе задачу и не запутаться, то домножь все на -1, чтобы минус в начале ушел. Получится х^2-3х-4=0.