Определить промежутки монотонности функции, не используя производную функции.
y = (x² - x - 20)² - 18
=================================
Область определения функции D (y) = R
Квадратичная функция в квадратичной функции
y = f(z); z = g(x)
Чтобы найти промежутки монотонности квадратичной функции, нужно найти абсциссу вершины параболы.
- координата вершины
z = 0 - координата вершины параболы
x₁ = -4; x₂ = 5 - координаты вершин параболы
Таким образом, есть три точки, которые определяют промежутки монотонности функции y = (x² - x - 20)² - 18.
x₁ = -4; x₀ = 0,5; x₂ = 5
x ∈ (-∞; -4] - функция убывает : y(-5) > y(-4)
x ∈ [-4; 0,5] - функция возрастает : y(-4) < y(0)
x ∈ [0,5; 5] - функция убывает : y(1) > y(2)
x ∈ [5; +∞) - функция возрастает : y(5) < y(6)
Находим первую производную функции:
y' = (x-4)² * (2*x-2)+(x-1)² * (2*x-8)
или
y' = 2(x-4)(x-1)(2*x-5)
Приравниваем ее к нулю:
2(x-4)(x-1)(2*x-5) = 0
x₁ = 1
x₂ = 5/2
x₃ = 4
Вычисляем значения функции
f(1) = 0
f(5/2) = 81/16
f(4) = 0
ответ: fmin = 0; fmax = 81/16
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y'' = 2(x-4)²+2(x-1)²+2(2*x-8)(2*x-2)
или
y'' = 12*x ²- 60*x + 66
Вычисляем:
y''(1) = 18>0 - значит точка x = 1 точка минимума функции.
y''(4) = 18>0 - значит точка x = 4 точка минимума функции.
Определить промежутки монотонности функции, не используя производную функции.
y = (x² - x - 20)² - 18
=================================
Область определения функции D (y) = R
y = (x² - x - 20)² - 18
Квадратичная функция в квадратичной функции
y = f(z); z = g(x)
Чтобы найти промежутки монотонности квадратичной функции, нужно найти абсциссу вершины параболы.
x₁ = -4; x₂ = 5 - координаты вершин параболы
Таким образом, есть три точки, которые определяют промежутки монотонности функции y = (x² - x - 20)² - 18.
x₁ = -4; x₀ = 0,5; x₂ = 5
x ∈ (-∞; -4] - функция убывает : y(-5) > y(-4)
x ∈ [-4; 0,5] - функция возрастает : y(-4) < y(0)
x ∈ [0,5; 5] - функция убывает : y(1) > y(2)
x ∈ [5; +∞) - функция возрастает : y(5) < y(6)