Алгебра: Очень с алгеброй, за решение

Очень с алгеброй, за решение

Показать ответ

Ответ:

блашер

24.05.2020 00:46

Запишем эту сумму для произвольного числа слагаемых:

$S(k)=\frac{1}{2!} +\frac{2}{3!} +\frac{3}{4!} +...+\frac{k}{(k+1)!}$

Вычислим значения S(k) для нескольких значений k:

$S(1)=\frac{1}{2!} =\frac{1}{2}= \frac{2!-1}{2!} \\S(2)=\frac{1}{2} +\frac{2}{3!} =\frac{5}{6}=\frac{3!-1}{3!} \\S(3)=\frac{5}{6}+\frac{3}{4!}=\frac{23}{24} =\frac{4!-1}{4!}$

Тогда можно предположить, что

$S(k)=\frac{(k+1)!-1}{(k+1)!}=1-\frac{1}{(k+1)!}$

Но это ещё надо доказать. Используем индукцию. Выше было показано, что равенство верно для первых 3 натуральных k. Докажем, что из справедливости равенства для k=n следует справедливость равенства для k=n+1, тогда равенство можно будет считать справедливым для всех натуральных k.

Итак, предположим, что справедливо равенство

$\frac{1}{2!} +\frac{2}{3!} +\frac{3}{4!} +...+\frac{n}{(n+1)!}=1-\frac{1}{(n+1)!}$

Проверим, верно ли, что

$\frac{1}{2!} +\frac{2}{3!} +\frac{3}{4!} +...+\frac{n}{(n+1)!}+\frac{n+1}{(n+2)!}=1-\frac{1}{(n+2)!}$

Подставляем сюда предыдущее выражение:

$1-\frac{1}{(n+1)!}+\frac{n+1}{(n+2)!}=1-\frac{1}{(n+2)!}\\\frac{n+2}{(n+2)!}=\frac{1}{(n+1)!}\\\frac{1}{(n+1)!}=\frac{1}{(n+1)!}$

Получили верное равенство. Теперь можно вычислить значение нашей суммы:

$S(2006)=1-\frac{1}{2007!}$

0,0(0 оценок)

Ответ:

konoplynkoyanoka

23.01.2022 12:55

Пусть одно из слагаемых равно x. Тогда второе равно 5-x. Произведение, о котором говорится в условии задается формулой x(5-x)^4 . Нам нужно найти x, для которого это выражение оказывается наибольшим. То есть фактически нужно найти точку максимума функции f(x)=x(5-x)^4 на интервале (0; 5).

Возьмём производную:

f'(x)=(5-x)^4-4(5-x)^3=(5-x)^3(5-x-4x)=5(5-x)^3(1-x)

На заданном интервале производная имеет единственный ноль: точку x=1. При этом: f(0)=f(5)=0, f(1)=256. Значит x=1 - точка максимума на интервале (0; 5).

1 это первое слагаемое. Тогда второе, очевидно, равно 4.

ответ: 1 и 4

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра