1.Такое число x, увеличенное на 1, делится на 2, на 3, на 4, на 5, на 6. Делимость на 2 следует из делимости на 4, об этом беспокоиться не надо. Делимость на 6 следует из делимости на 2 (хотите - не 4) и на 3. Поэтому, если x+1 делится на 3, 4 , 5, то оно делится и на 2, и на 6. Самое маленькое натуральное число, делящееся на 3, 4 и 5 - это 3·4·5=60. Значит x=59
ответ: 59
2, Угадываем корень (-1); делим наш многочлен на (x+1), получаем x^4-4x^3+8x+3=(x+1)(x^3-5x^2+5x+3). Угадываем корень 3 многочлена x^3-5x^2+5x+3, делим на (x-3) x^3-5x^2+5x+3=(x-3)(x^2 - 2x -1); ищем корни x^2-2x-1; x=1+√2 и x=1-√2
1. Наименьшее число, которое без остатка делится на 2; 3; 4; 5; 6 будет равно наименьшему общему кратному этих чисел: НОК( 2; 3; 4; 5; 6) = 2 × 3 × 2 × 5 = 60.
Т.к. остаток для каждого делителя меньше на 1, значит, чтобы получить искомое число нужно из числа 60 тоже вычесть 1. 60 - 1 = 59 Проверим число 59. 59:2 = 29(ост.1) 59:3 = 19(ост.2) 59:4 = 14(ост.3) 59:5 = 11(ост.4) 59:6 = 9(ост.5) ответ: 59
Делимость на 2 следует из делимости на 4, об этом беспокоиться не надо. Делимость на 6 следует из делимости на 2 (хотите - не 4) и на 3.
Поэтому, если x+1 делится на 3, 4 , 5, то оно делится и на 2, и на 6.
Самое маленькое натуральное число, делящееся на 3, 4 и 5 - это
3·4·5=60. Значит x=59
ответ: 59
2, Угадываем корень (-1); делим наш многочлен на (x+1), получаем
x^4-4x^3+8x+3=(x+1)(x^3-5x^2+5x+3).
Угадываем корень 3 многочлена x^3-5x^2+5x+3, делим на (x-3)
x^3-5x^2+5x+3=(x-3)(x^2 - 2x -1);
ищем корни x^2-2x-1; x=1+√2 и x=1-√2
ответ: - 1; 3; 1+√2; 1-√2
Наименьшее число, которое без остатка делится на 2; 3; 4; 5; 6 будет равно наименьшему общему кратному этих чисел:
НОК( 2; 3; 4; 5; 6) = 2 × 3 × 2 × 5 = 60.
Т.к. остаток для каждого делителя меньше на 1, значит, чтобы получить искомое число нужно из числа 60 тоже вычесть 1.
60 - 1 = 59
Проверим число 59.
59:2 = 29(ост.1)
59:3 = 19(ост.2)
59:4 = 14(ост.3)
59:5 = 11(ост.4)
59:6 = 9(ост.5)
ответ: 59
2.
х⁴ - 4х³ + 8х + 3 = 0
(х⁴ - 4х³ + 4х²) - 4х² + 8х + 3 = 0
В первых скобках квадрат разности
(х² - 2х)² - (4х² - 8х) + 3 = 0
(х² - 2х)² - 4(х² - 2х) + 3 = 0
Применим подстановку
(х² - 2х) = t
получим уравнение
t² - 4t + 3 = 0
D = b² - 4ac
D = 16 - 4*1*3 = 16 - 12 = 4
√D = √4 = 2
t₁ = (4 + 2)/2 = 6/2 = 3
t₂ = ((4 - 2)/2 = 2/2 = 1
Делаем обратную замену (х² - 2х) = t
Таким образом, получаем 2 уравнения: х² - 2х = 3. и х² - 2х = 1
Решаем первое
х² - 2х - 3 = 0
D = b² - 4ac
D = 4 - 4*1*(-3) = 4 + 12 = 16
√D = √16 = 4
x₁ = (2 - 4)/2 = - 2/2 = - 1
x₂ = (2 + 4)/2 = 6/2 = 3
Решаем второе
х² - 2х - 1 = 0
D = b² - 4ac
D = 4 - 4*1*(-1) = 4 + 4 = 8
√D = √8 = 2√2
x₃ = (2 - 2√2)/2 = 1 - √2
x₄ = (2 + 2√2)/2 = 1 + √2
ответ: - 1; 1 - √2; 1+ √2; 3