Определить для функции y=-5x^3 и y=1/8x^2 координаты вершины параболы

1) Сложение

{ 4x - y = 8

{ 3x^2 + y = 11

Складываем уравнения, у пропадает.

3x^2 + 4x = 19

3x^2 + 4x - 19 = 0

D = 4^2 + 4*3*19 = 16 + 228 = 244 = 4*61

x1 = (-4 - 2√61)/6 = (-2 - √61)/3

x2 = (-4 + 2√61)/6 = (-2 + √61)/3

Из 1 уравнения y = 4x - 8

y1 = (-8 - 4√61)/3 - 8 = (-32 - 4√61)/3;

y2 = (-8 + 4√61)/3 - 8 = (-32 + 4√61)/3

ответ: ((-2+-√61)/3; (-32+-4√61)/3)

2) Подстановка

{ 3x + y = 1

{ x^2 + y^2 + xy = 3

Подставляем

{ y = 1 - 3x

{ x^2 + (1 - 3x)^2 + x(1 - 3x) = 3

x^2 + 9x^2 - 6x + 1 - 3x^2 + x - 3 = 0

7x^2 - 5x - 2 = 0

D = 5^2 - 4*7(-2) = 25 + 56 = 81 = 9^2

x1 = (5 - 9)/14 = - 4/14 = - 2/7; x2 = (5 + 9)/14 = 1

y1 = 1 - 3x = 1 - 3(-2/7) = 1 + 6/7 = 13/7

y2 = 1 - 3x = 1 - 3*1 = - 2

ответ: (-2/7; 13/7); (1; -2)

3) Решить систему. Подстановка

{ x^2 - 2x - 3y^2 = 0

{ x^2 + 2y^2 = 3

Подставляем

{ y^2 = (3 - x^2)/2 = 1,5 - 0,5x^2

{ x^2 - 2x - 3(1,5 - 0,5x^2) = 0

x^2 - 2x - 4,5 + 1,5x^2 = 0

Умножаем все на 2, избавляемся от дробей.

5x^2 - 4x - 9 = 0

D = 4^2 - 4*5(-9) = 16 + 180 = 196 = 14^2

x1 = (4 - 14)/10 = - 10/10 = - 1

y^2 = 1,5 - 0,5*x1^2 = 1,5 - 0,5*1 = 1

y1 = - 1; y2 = 1

x2 = (4 + 14)/10 = 18/10 = 1,8

y^2 = 1,5 - 0,5*x2^2 = 1,5 - 0,5*3,24 = 1,5 - 1,62 = - 0,12 < 0 - не подходит.

ответ: (-1; -1); (-1; 1)

Решение 1)   sin³x*cosx - cos³x*sinx = 1/4  умножим обе части уравнения на   4 4*(sin³x*·cosx - cos³x*sinx) = 1  4*(sin²x*sinx*cosx-cos²x*cosx*sinx) =   1  4*sinx*cosx*(sin²x - cos²x) = 1 - 2*(2*sinx*cosx)*(cos²x - sin²x) = 1 - 2*sin2x*cos2x = 1   - sin4x = 1 sin4x= - 1 4x = - π/2 + 2πk, k∈z x = - π/8 + πk/2, k∈z 2)   2cos²2x + 3sin4x + 4sin²2x = 0 2cos²2x + 3*2*sin2xcos2x    + 4sin²2x = 02cos²2x +6sin2xcos2x    + 4sin²2x = 0делим на cos²2x  ≠ 0 4tg²2x +  6tg2x + 2 = 0  делим на 2 2tg²2x +3 tg2x + 1 = 0  tg2x = t 2t² + 3t + 1 = 0 d = 9 - 4*2*1 = 1 t₁ = (- 3 - 1)/4 = - 1 t₂ = (- 3 + 1)/4 = - 1/2 1)   tg2x = - 1 2x = arctg(-1) +  πk, k  ∈ z 2x = -  π/4  +  πk, k  ∈ z x₁ = -  π/8   +  πk/2, k  ∈ z2) tg2x = - 1/2 2x = arctg(-1/2) +  πn, n  ∈ z x₂ =  - (1/2)*arctg(1/2) +  πn , n  ∈ z 3)   sin(2x + 12π/7) = 2sin(x -  π/7) - sin2x = - 2sinx 2sinxcosx - 2sinx = 0 2sinx(cosx - 1) = 0 1)   sinx = 0 x₁ =  πk, k  ∈ z 2)   cosx - 1 = 0 cosx = 1 x₂ = 2πn, n  ∈ z