. Основою піраміди є прямокутник, діагональ якого дорівнює 6√3 см, кут між діагоналями прямокутника дорівнює 60. Усі бічні ребрапіраміди утворюють з висотою однакові кути по 45. Знайдіть об’єм піраміди.

task/29542049    arctg (1/p) +arctg(1/q) =  π/4 ;  p ∈ ℕ  , q ∈ ℕ

* * *  arctg (1/p) = α;  arctg(1/q)=β  ; tg( α+β)=( tgα+tgβ) / (1 - tgα*tgβ)    * * *

* * *   - π/2 < arctg(a)  < π/2  и  tg (arctg(a) ) =a  * * *

arctg (1/p) +arctg(1/q) =  π/4 ⇔ tg( arctg (1/p) +arctg(1/q) ) =tg(π/4)⇔

( tg(arctg (1/p)  +tg( arctg(1/q) ) / ( 1 - tg(arctg (1/p) *tg( arctg(1/q) ) = 1⇔

( 1/p+ 1/q ) / (1-  1/pq ) =1 ⇔ ( p+ q ) / (pq -  1) =1   || pq ≠1 || ⇔ p+ q = pq -  1 ⇔

pq - p - q +1 =2 ⇔  (p -1)(q-1) = 2.  Если p  и q натуральные ,то

{ p - 1 = 1 ; q -1 =2    либо  { p - 1 = 2 ; q -1 = 1.    

{ p =2 ; q =3  либо { p = 3 ; q  = 2  

* * *нормально: исходное выражение симметрично относительно p и q* * *

ответ:  (2;3) ,  (3;2) .

УДАЧИ  !

Пусть 1 - это длина всего пути

х км/ч - скорость первого автомобиля    (ОДЗ: x>0)

1/х  час - время, затраченное на весь путь первым автомобилем

1/2 : 30 = 1/60  час - время, затраченное на первую половину пути вторым автомобилем

1/2 : (х+9) = 1/(2х+18)   час - время, затраченное на вторую половину пути вторым автомобилем

По условию время, затраченное на весь путь первым автомобилем равно времени, затраченному на весь путь вторым автомобилем, получаем уравнение:

 км/ч - скорость первого автомобиля

ответ: 36 км/ч