1) a+b+c=0 => a+b=-c => (a+b)³=(-c)³ => a³+3a²b+3ab²+b³=-c³ => => a³+b³+c³=-(3a²b+3ab²) => a³+b³+c³=-3ab(a+b) => a³+b³+c³=-3ab(-c) => => a³+b³+c³=3abc 2) Обратное утверждение: Если a³+b³+c³=3abc, то a+b+c=0 (думаю, имеется в виду, что a+b+c обязательно будет равно 0, и не существует других вариантов). Из утверждения следует, что c³-3abc+a³+b³=0. Допустим, известны числа a и b. Тогда c³-3abc+a³+b³=0 является кубическим уравнением относительно c. Как известно, любое кубическое уравнение с рациональными коэффициентами имеет ровно три корня (необязательно действительных). Отсюда следует, что при фиксированных a и b и при 3-х вариантах c получится три варианта для суммы a+b+c, одним из которых является a+b+c=0. Таким образом, пункт 1 является верным. Пункт 2 не является верным. Найдем другие два варианта для c. Известно, что в уравнении c³-3abc+a³+b³=0 одним из решений является c=-(a+b), так как при подстановке в уравнение получится тождество. Разложим левую часть уравнения на скобки: c³-3abc+a³+b³=(a+b+c)(c²-c(a+b)+a²-ab+b²). Решим уравнение c²-c(a+b)+a²-ab+b²=0 относительно c: D=(-(a+b))²-4(a²-ab+b²)=a²+2ab+b²-4a²+4ab-4b²=-3(a²-2ab+b²)=-3(a-b)²≤0 c1,2=((a+b)+-√3(a-b)*i)/2, где i²=-1, i - мнимая единица. Если D=0, то a=b, а выражение для c примет такой вид: c=(a+b)/2=(a+a)/2=a. Получим, что в этом случае a=b=c, а сумма a+b+c=3a для любого a. Если D<0, то c1=(a+b)/2+i√3(a-b)/2, c2=(a+b)/2-i√3(a-b)/2. А возможные варианты для суммы станут такими: a+b+c=a+b+(a+b)/2+i√3(a-b)/2=3(a+b)/2+i√3(a-b)/2, или a+b+c=a+b+(a+b)/2-i√3(a-b)/2=3(a+b)/2-i√3(a-b)/2
Подобно звёздам на небосводе сияют в числовом космосе простые числа. Не одну тысячу лет к ним приковано внимание математиков – их вновь и вновь ищут, исследуют, находят им применение. Евклид и Эратосфен, Эйлер и Гаусс, Рамануджан и Харди, Чебышёв и Виноградов... Этот перечень выдающихся учёных занимавшихся простыми числами и задачами с ними связанными можно продолжать и продолжать.
На страницах нашего сайта уже шла речь о бесконечности ряда простых чисел и некоторых смежных вопросах. При этом нас интересовали все простые числа сразу. Иногда же интересно рассмотреть совокупности из двух, трёх, четырёх или более простых чисел. Именно о таких совокупностях – созвездиях простых чисел – пойдёт речь далее.
Простые числа-близнецы
Два простых числа, которые отличаются на 2, как
5 и 7,
11 и 13,
17 и 19,
получили образное название близнецы (эти числа называют ещё парными простыми числами). Любопытно, что в натуральном ряду имеется даже тройня простых чисел – это числа
3, 5, 7.
Ну а сколько всего существует близнецов – современной математике неизвестно.
Числа-близнецы из заданной таблицы чисел можно просеивать, слегка подправив решето Эратосфена. Если для каждого вычеркнутого Эратосфена числа n вычеркнуть так же число n – 2, то в таблице останутся лишь такие числа р, для которых число р + 2 тоже простое. В пределах первой сотни близнецы – это следующие пары чисел:
3 и 5,
5 и 7,
11 и 13,
17 и 19,
29 и 31,
41 и 43,
59 и 61,
71 и 73.
С парами близнецов в пределах 10000 можно познакомиться на страницах нашего сайта в Таблице простых и парных простых чисел, не превосходящих 10000, где они выделены красным цветом.
Вот лишь некоторые свойства этих чисел, которых лежат на самой поверхности океана простых чисел:
все пары простых близнецов, кроме 3 и 5, имеют вид 6n ± 1;при делении на 30 все пары близнецов, кроме первых двух, дают следующие пары остатков:
11 и 13,
17 и 19,
29 и 1;
по мере удаления от нуля близнецов становится всё меньше и меньше. Так, в пределах первой сотни натуральных чисел существуют восемь пар близнецов, а в пределах пяти сотен с 9501 по 10000 – шесть.
Предполагается, что пар простых чисел-близнецов бесконечно много, но это не доказано. Исследования, проводимые в "глубоком числовом космосе", продолжают выявлять эти замечательные и загадочные пары. На данный момент рекордсменами считаются близнецы
3756801695685 · 2666669 ± 1,
которые были обнаружены 24 декабря 2011 года в рамках реализации проекта PrimeGrid. Для записи каждого из этих чисел понадобиться 200700 цифр.
Простые числа-триплеты
Это тройка различных простых чисел, разность между наибольшим и наименьшим из которых минимальна. Наименьшими простыми числами, отвечающими заданному условию, являются –
2, 3, 5 и 3, 5, 7.
Данная пара триплетов исключительна, так как во всех остальных случаях разность между первым и третьим членом равна шести. Обобщённо: последовательность простых чисел
=> a³+b³+c³=-(3a²b+3ab²) => a³+b³+c³=-3ab(a+b) => a³+b³+c³=-3ab(-c) =>
=> a³+b³+c³=3abc
2) Обратное утверждение:
Если a³+b³+c³=3abc, то a+b+c=0 (думаю, имеется в виду, что a+b+c обязательно будет равно 0, и не существует других вариантов).
Из утверждения следует, что c³-3abc+a³+b³=0. Допустим, известны числа a и b. Тогда c³-3abc+a³+b³=0 является кубическим уравнением относительно c. Как известно, любое кубическое уравнение с рациональными коэффициентами имеет ровно три корня (необязательно действительных). Отсюда следует, что при фиксированных a и b и при 3-х вариантах c получится три варианта для суммы a+b+c, одним из которых является a+b+c=0.
Таким образом, пункт 1 является верным. Пункт 2 не является верным.
Найдем другие два варианта для c.
Известно, что в уравнении c³-3abc+a³+b³=0 одним из решений является c=-(a+b), так как при подстановке в уравнение получится тождество. Разложим левую часть уравнения на скобки:
c³-3abc+a³+b³=(a+b+c)(c²-c(a+b)+a²-ab+b²).
Решим уравнение c²-c(a+b)+a²-ab+b²=0 относительно c:
D=(-(a+b))²-4(a²-ab+b²)=a²+2ab+b²-4a²+4ab-4b²=-3(a²-2ab+b²)=-3(a-b)²≤0
c1,2=((a+b)+-√3(a-b)*i)/2, где i²=-1, i - мнимая единица.
Если D=0, то a=b, а выражение для c примет такой вид: c=(a+b)/2=(a+a)/2=a. Получим, что в этом случае a=b=c, а сумма a+b+c=3a для любого a.
Если D<0, то c1=(a+b)/2+i√3(a-b)/2,
c2=(a+b)/2-i√3(a-b)/2.
А возможные варианты для суммы станут такими:
a+b+c=a+b+(a+b)/2+i√3(a-b)/2=3(a+b)/2+i√3(a-b)/2,
или
a+b+c=a+b+(a+b)/2-i√3(a-b)/2=3(a+b)/2-i√3(a-b)/2
Подобно звёздам на небосводе сияют в числовом космосе простые числа. Не одну тысячу лет к ним приковано внимание математиков – их вновь и вновь ищут, исследуют, находят им применение. Евклид и Эратосфен, Эйлер и Гаусс, Рамануджан и Харди, Чебышёв и Виноградов... Этот перечень выдающихся учёных занимавшихся простыми числами и задачами с ними связанными можно продолжать и продолжать.
На страницах нашего сайта уже шла речь о бесконечности ряда простых чисел и некоторых смежных вопросах. При этом нас интересовали все простые числа сразу. Иногда же интересно рассмотреть совокупности из двух, трёх, четырёх или более простых чисел. Именно о таких совокупностях – созвездиях простых чисел – пойдёт речь далее.
Простые числа-близнецыДва простых числа, которые отличаются на 2, как
5 и 7,
11 и 13,
17 и 19,
получили образное название близнецы (эти числа называют ещё парными простыми числами). Любопытно, что в натуральном ряду имеется даже тройня простых чисел – это числа
3, 5, 7.
Ну а сколько всего существует близнецов – современной математике неизвестно.
Числа-близнецы из заданной таблицы чисел можно просеивать, слегка подправив решето Эратосфена. Если для каждого вычеркнутого Эратосфена числа n вычеркнуть так же число n – 2, то в таблице останутся лишь такие числа р, для которых число р + 2 тоже простое. В пределах первой сотни близнецы – это следующие пары чисел:
3 и 5,
5 и 7,
11 и 13,
17 и 19,
29 и 31,
41 и 43,
59 и 61,
71 и 73.
С парами близнецов в пределах 10000 можно познакомиться на страницах нашего сайта в Таблице простых и парных простых чисел, не превосходящих 10000, где они выделены красным цветом.
Вот лишь некоторые свойства этих чисел, которых лежат на самой поверхности океана простых чисел:
все пары простых близнецов, кроме 3 и 5, имеют вид 6n ± 1;при делении на 30 все пары близнецов, кроме первых двух, дают следующие пары остатков:11 и 13,
17 и 19,
29 и 1;
по мере удаления от нуля близнецов становится всё меньше и меньше. Так, в пределах первой сотни натуральных чисел существуют восемь пар близнецов, а в пределах пяти сотен с 9501 по 10000 – шесть.Предполагается, что пар простых чисел-близнецов бесконечно много, но это не доказано. Исследования, проводимые в "глубоком числовом космосе", продолжают выявлять эти замечательные и загадочные пары. На данный момент рекордсменами считаются близнецы
3756801695685 · 2666669 ± 1,
которые были обнаружены 24 декабря 2011 года в рамках реализации проекта PrimeGrid. Для записи каждого из этих чисел понадобиться 200700 цифр.
Простые числа-триплетыЭто тройка различных простых чисел, разность между наибольшим и наименьшим из которых минимальна. Наименьшими простыми числами, отвечающими заданному условию, являются –
2, 3, 5 и 3, 5, 7.
Данная пара триплетов исключительна, так как во всех остальных случаях разность между первым и третьим членом равна шести. Обобщённо: последовательность простых чисел
p, p+2, p+6 или p, p+4, p+6
называется триплетом.
Простые числа-триплеты в пределах первой сотни:
5, 7, 11;
7, 11, 13;
11, 13, 17;
13, 17, 19;
17, 19, 23;
37, 41, 43;
41, 43, 47;
67, 71, 73.