Перший член геометричної прогресії дорівнює 3, а її п'ятий член 48. Скільки перших членів цієї прогресії потрібно додати, щоб їх сума дорівнювала 765?
Интересная задачка :) Обычно бывает два пешехода, а тут три...
Для начала переведём все скорости в метры за минуту - так удобнее. 6 км/ч = 100 м/мин 7,2 км/ч = 120 м/мин Пешеходов обозначим (1), (2) и (3) Теперь рассмотрим временную линию. Момент "ноль" - все сидят на старте, пьют чай. Момент "один" - через 30 минут м/мин * 30 мин = 3000 м, (2): 120 м/мин * 30 мин = 3600 м, (3): стартует. Момент "два" - через какое-то время, обозначим его х минут, когда (3) догнал (1). К этому моменту м/мин *(30+х) мин = 100(30+х) м, (2): 120 м/мин * (30+х) мин = 120(30+х) м, (3): 100(30+х) м - столько же, сколько (1) Момент "три" - через 40 мин после момента "два", когда (3) догнал (2). К этому моменту м/мин *(70+х) мин = 100(70+х) м, (2): 120 м/мин * (70+х) мин = 120(70+х) м, (3): 120(70+х) м - столько же, сколько (2) Теперь запишем скорость (3) на участке "один"-"два". Он х) м за х минут, то есть его скорость равна На участке "два"-"три" х) м за (х+40) минут, то есть его скорость равна Поскольку скорость его постоянна, можем записать равенство: Решаем уравнение: 100(30+x)(х+40)=120(70+x)х 100(30х+х²+1200+40х)=120(70х+x²) 7000х+100х²+120000=8400х+120x² 20x²+1400х-120000=0 (сокращаем на 20) x²+70х-6000=0 Д=4900+24000=28900 х₁=(-70+170)/2=50 х₂=(-70-170)/2=-120 (не подходит, время не может быть отрицательным) Значит, (3) догнал (1) через 50 минут. Подставим это значение и найдём скорость (3): 160 м/мин = 9,6 км/час ответ: скорость третьего туриста 9,6 км/час
А) да, например 512, 576, 648, 729 б) нет. Понятно, что знаменатель прогрессии - нецелое число. Пусть знаменатель прогрессии - число p/q (p, q - взаимно просты, p>q). Тогда члены прогрессии - числа вида a, ap/q, ap^2/q^2, ap^3/q^3, ap^4/q^4. Т.к. (p, q) = 1, то а делится на q^4, откуда q = 2, 3, 4 или 5 (иначе a не меньше 6^4 = 1296 > 740). С другой стороны, a/q^4 - некоторое натуральное число, поэтому из того, что p^4 * a/q^4 < 740, следует, что p^4 < 740, т.е. p = 3, 4, 5.
Наименьшее значение знаменателя в таком случае 5/4. Но тогда пятый член прогрессии окажется не меньше, чем 510 * (5/4)^4 > 740. Противоречие.
Для начала переведём все скорости в метры за минуту - так удобнее.
6 км/ч = 100 м/мин
7,2 км/ч = 120 м/мин
Пешеходов обозначим (1), (2) и (3)
Теперь рассмотрим временную линию.
Момент "ноль" - все сидят на старте, пьют чай.
Момент "один" - через 30 минут м/мин * 30 мин = 3000 м, (2): 120 м/мин * 30 мин = 3600 м, (3): стартует.
Момент "два" - через какое-то время, обозначим его х минут, когда (3) догнал (1). К этому моменту м/мин *(30+х) мин = 100(30+х) м, (2): 120 м/мин * (30+х) мин = 120(30+х) м, (3): 100(30+х) м - столько же, сколько (1)
Момент "три" - через 40 мин после момента "два", когда (3) догнал (2). К этому моменту м/мин *(70+х) мин = 100(70+х) м, (2): 120 м/мин * (70+х) мин = 120(70+х) м, (3): 120(70+х) м - столько же, сколько (2)
Теперь запишем скорость (3) на участке "один"-"два". Он х) м за х минут, то есть его скорость равна
На участке "два"-"три" х) м за (х+40) минут, то есть его скорость равна
Поскольку скорость его постоянна, можем записать равенство:
Решаем уравнение:
100(30+x)(х+40)=120(70+x)х
100(30х+х²+1200+40х)=120(70х+x²)
7000х+100х²+120000=8400х+120x²
20x²+1400х-120000=0 (сокращаем на 20)
x²+70х-6000=0
Д=4900+24000=28900
х₁=(-70+170)/2=50
х₂=(-70-170)/2=-120 (не подходит, время не может быть отрицательным)
Значит, (3) догнал (1) через 50 минут. Подставим это значение и найдём скорость (3):
160 м/мин = 9,6 км/час
ответ: скорость третьего туриста 9,6 км/час
б) нет. Понятно, что знаменатель прогрессии - нецелое число. Пусть знаменатель прогрессии - число p/q (p, q - взаимно просты, p>q). Тогда члены прогрессии - числа вида
a, ap/q, ap^2/q^2, ap^3/q^3, ap^4/q^4.
Т.к. (p, q) = 1, то а делится на q^4, откуда q = 2, 3, 4 или 5 (иначе a не меньше 6^4 = 1296 > 740).
С другой стороны, a/q^4 - некоторое натуральное число, поэтому из того, что p^4 * a/q^4 < 740, следует, что p^4 < 740, т.е. p = 3, 4, 5.
Наименьшее значение знаменателя в таком случае 5/4. Но тогда пятый член прогрессии окажется не меньше, чем 510 * (5/4)^4 > 740. Противоречие.