Первое нужно доказать письменно

Пусть гипотенуза прямоугольного треугольника равна х см, тогда первый катет этого треугольника равен (х - 6) см, а второй катет равен (х - 6) + 3 = х - 3 см. По условию задачи известно, что площадь данного треугольника (площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов) равна 1/2 * (х - 6)(х - 3) см^2 или 54 см^2. Составим уравнение и решим его.

1/2 * (х - 6)(х - 3) = 54;

(х - 6)(х - 3) = 54 * 2;

х^2 - 3х - 6х + 18 = 108;

х^2 - 9х + 18 - 108 = 0;

х^2 - 9х - 90 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = (-9)^2 - 4 * 1 * (-90) = 81 + 360 = 441; √D = 21;

x = (-b ± √D)/(2a);

x1 = (9 + 21)/2 = 30/2 = 15 (см);

х2 = (9 - 21)/2 = -12/2 = -6 - длина не может быть отрицательной.

ответ. 15 см.

1)Рассм. прямоугольный треуг-к АВD, образованный одной из диагоналей и 2 сторонами прямоугольника(а - первая сторона, b - вторая сторона). Тогда по теореме пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

45^2 = a^2 + b^2

Площадь прямоугольника - это произведение сторон а и b:

a * b = 972

a^2 + b^2 можно представить как полный квадрат:

(a + b)^2 - 2ab = a^2 + b^2              (a^2 + b^2 + 2ab) - 2ab = a^2 + b^2

2)Теперь вместо ab подставляем 972, вместо a^2 + b^2 - 45^2 (или 2025)

(a + b)^2 - 1944 = 2025

(a + b)^2 = 3989

a + b = кв. корень 3969 = 63 

3)Теперь решим систему нера-в:

a + b = 63

a * b = 972, выражаем а через 1-ое урав-е и подставляем во второе:

a = 63 - b

(63 - b) * b = 972

a = 63 - b

63b - b^2 - 972 = 0

a = 63 - b

(b - 27) * (b - 36) = 0 , (следовательно 27 и 36 - корни кв. урав-я),

а = 36                      a = 27

b = 27,                     b = 36, следовательно

27 см и 36 см - длины сторон прямоугольника.

ответ: 27 и 36