Чтобы найти катеты, площадь и радиус описанной окружности в данном прямоугольном треугольнике, воспользуемся следующими формулами и свойствами:
1. Формула Пифагора для прямоугольного треугольника: в квадрате гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Исходя из этого, мы можем найти катеты, используя следующие формулы:
a = c * cos(α)
b = c * sin(α)
2. Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника:
S = (a * b) / 2
3. Описанная окружность прямоугольного треугольника проходит через вершины треугольника и имеет центр в середине гипотенузы.
Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы:
R = c / 2
Теперь давайте посчитаем значения:
1. Найдем катеты:
a = 12 * cos(60°)
a = 12 * 0.5
a = 6
b = 12 * sin(60°)
b = 12 * √3 / 2
b = 6√3
Таким образом, катет a = 6, катет b = 6√3.
2. Найдем площадь прямоугольного треугольника:
S = (6 * 6√3) / 2
S = 18√3
Таким образом, площадь S = 18√3.
3. Найдем радиус описанной окружности:
R = 12 / 2
R = 6
Вначале, выражение |x-a| может быть положительным или нулем, в зависимости от значения x и a.
Если x ≥ a, то |x-a| = x-a, и неравенство может быть записано как (x-a)(3x^2-x-4) ≥ 0.
Если x < a, то |x-a| = -(x-a) = a-x, и неравенство может быть записано как (a-x)(3x^2-x-4) ≥ 0.
Далее разберем каждый случай отдельно:
1. Пусть x ≥ a:
Таким образом, у нас есть неравенство (x-a)(3x^2-x-4) ≥ 0.
Чтобы найти множество решений, нужно проанализировать знаки каждого множителя.
a) (x-a) ≥ 0: это выполнено только при x ≥ a.
b) (3x^2-x-4) ≥ 0: для этой квадратной функции мы можем решить неравенство, используя метод интервалов.
- Сначала найдем корни уравнения 3x^2-x-4 = 0:
Решим это уравнение с помощью факторизации или квадратного корня.
3x^2-x-4 = (x-1)(3x+4) = 0
Получаем два корня: x = 1 и x = -4/3.
- Разобьем интервалы числовой прямой на основе найденных корней и посмотрим знак каждого множителя в интервалах.
a) Для x < -4/3: (3x^2-x-4) < 0, так как обе части неравенства имеют разные знаки.
b) Для -4/3 < x < 1: (3x^2-x-4) > 0, так как обе части неравенства имеют одинаковый знак.
c) Для x > 1: (3x^2-x-4) > 0, так как обе части неравенства имеют одинаковый знак.
Таким образом, множество решений при x ≥ a будет:
- Ответ: x ≥ a и -4/3 < x < 1.
2. Пусть x < a:
Теперь у нас есть неравенство (a-x)(3x^2-x-4) ≥ 0.
Аналогично первому случаю, нужно проанализировать знаки каждого множителя.
a) (a-x) ≥ 0: это выполнено только при x ≤ a.
b) (3x^2-x-4) ≥ 0: мы уже рассмотрели это в первом случае и знаем его знаки на разных интервалах.
Таким образом, множество решений при x < a будет:
- Ответ: x ≤ a и x < -4/3 или 1 < x
Это максимально подробное и обстоятельное решение неравенства |x-a|(3x^2-x-4) в зависимости от значения параметра a.
1. Формула Пифагора для прямоугольного треугольника: в квадрате гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Исходя из этого, мы можем найти катеты, используя следующие формулы:
a = c * cos(α)
b = c * sin(α)
2. Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника:
S = (a * b) / 2
3. Описанная окружность прямоугольного треугольника проходит через вершины треугольника и имеет центр в середине гипотенузы.
Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы:
R = c / 2
Теперь давайте посчитаем значения:
1. Найдем катеты:
a = 12 * cos(60°)
a = 12 * 0.5
a = 6
b = 12 * sin(60°)
b = 12 * √3 / 2
b = 6√3
Таким образом, катет a = 6, катет b = 6√3.
2. Найдем площадь прямоугольного треугольника:
S = (6 * 6√3) / 2
S = 18√3
Таким образом, площадь S = 18√3.
3. Найдем радиус описанной окружности:
R = 12 / 2
R = 6
Таким образом, радиус описанной окружности R = 6.
Итак, ответы на задачу:
Катеты:
a = 6
b = 6√3
Площадь прямоугольного треугольника:
S = 18√3
Радиус описанной окружности:
R = 6
Неравенство, которое дано: |x-a|(3x^2-x-4)
Вначале, выражение |x-a| может быть положительным или нулем, в зависимости от значения x и a.
Если x ≥ a, то |x-a| = x-a, и неравенство может быть записано как (x-a)(3x^2-x-4) ≥ 0.
Если x < a, то |x-a| = -(x-a) = a-x, и неравенство может быть записано как (a-x)(3x^2-x-4) ≥ 0.
Далее разберем каждый случай отдельно:
1. Пусть x ≥ a:
Таким образом, у нас есть неравенство (x-a)(3x^2-x-4) ≥ 0.
Чтобы найти множество решений, нужно проанализировать знаки каждого множителя.
a) (x-a) ≥ 0: это выполнено только при x ≥ a.
b) (3x^2-x-4) ≥ 0: для этой квадратной функции мы можем решить неравенство, используя метод интервалов.
- Сначала найдем корни уравнения 3x^2-x-4 = 0:
Решим это уравнение с помощью факторизации или квадратного корня.
3x^2-x-4 = (x-1)(3x+4) = 0
Получаем два корня: x = 1 и x = -4/3.
- Разобьем интервалы числовой прямой на основе найденных корней и посмотрим знак каждого множителя в интервалах.
a) Для x < -4/3: (3x^2-x-4) < 0, так как обе части неравенства имеют разные знаки.
b) Для -4/3 < x < 1: (3x^2-x-4) > 0, так как обе части неравенства имеют одинаковый знак.
c) Для x > 1: (3x^2-x-4) > 0, так как обе части неравенства имеют одинаковый знак.
Таким образом, множество решений при x ≥ a будет:
- Ответ: x ≥ a и -4/3 < x < 1.
2. Пусть x < a:
Теперь у нас есть неравенство (a-x)(3x^2-x-4) ≥ 0.
Аналогично первому случаю, нужно проанализировать знаки каждого множителя.
a) (a-x) ≥ 0: это выполнено только при x ≤ a.
b) (3x^2-x-4) ≥ 0: мы уже рассмотрели это в первом случае и знаем его знаки на разных интервалах.
Таким образом, множество решений при x < a будет:
- Ответ: x ≤ a и x < -4/3 или 1 < x
Это максимально подробное и обстоятельное решение неравенства |x-a|(3x^2-x-4) в зависимости от значения параметра a.