Линейной функцией называется функция вида y = kx + b, заданная на множестве всех действительных чисел. Здесь k – угловой коэффициент (действительное число), b – свободный член (действительное число), x – независимая переменная.В частном случае, если k = 0, получим постоянную функцию y = b, график которой есть прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами (0; b).Если b = 0, то получим функцию y = kx, которая является прямой пропорциональностью.Геометрический смысл коэффициента b – длина отрезка, который отсекает прямая по оси Oy, считая от начала координат.Геометрический смысл коэффициента k – угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox, считается против часовой стрелки.Свойства линейной функции:1) Область определения линейной функции есть вся вещественная ось;2) Если k ≠ 0, то область значений линейной функции есть вся вещественная ось. Если k = 0, то область значений линейной функции состоит из числа b;3) Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b.a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b – четная;b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx – нечетная;c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b – функция общего вида;d) b = 0, k = 0, следовательно y = 0 – как четная, так и нечетная функция.4) Свойством периодичности линейная функция не обладает;5) Точки пересечения с осями координат:Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, следовательно (-b/k; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.Oy: y = 0k + b = b, следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат.Замечание.Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х. Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в ноль ни при каких значениях переменной х .6) Промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k.a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.y = kx + b – положительна при x из (-b/k; +∞),y = kx + b – отрицательна при x из (-∞; -b/k).b) k < 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.y = kx + b – положительна при x из (-∞; -b/k),y = kx + b – отрицательна при x из (-b/k; +∞).c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения,k = 0, b < 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.7) Промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k.k > 0, следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения,k < 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.8) Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b. Ниже приведена таблица, которая наглядно это иллюстрирует рисунок 1.(Рис.1)Пример.Рассмотрим следующую линейную функцию: y = 5x – 3.1) D(y) = R;2) E(y) = R;3) Функция общего вида;4) Непериодическая;5) Точки пересечения с осями координат:Ox: 5x – 3 = 0, x = 3/5, следовательно (3/5; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.Oy: y = -3, следовательно (0; -3) – точка пересечения с осью ординат;6) y = 5x – 3 – положительна при x из (3/5; +∞),y = 5x – 3 – отрицательна при x из (-∞; 3/5);7) y = 5x – 3 возрастает на всей области определения;8)
Поскольку модуль слева это модуль от суммы положительного числа 3 и модуля, то большой модуль положителен и раскрывается как уравнение вида abs(x+2)+3=4 и решается как abs(x+2)=1 и x+2=1 или x-2=-1. а если бы у тебя было бы уравнение abs(abs(x+2)-3)=4, то пришлось бы рассмотреть уравнения abs(x+2)=4 и abs(x+2)=-4 только когда у тебя по модулем находится сумма положительного числа и модуля от выражения, содержащего переменную x ты рассматриваешь уравнение в варианте (заменяешь скобки модуля на обычные скобки) поскольку при сложении положительного числа и модуля какого-либо выражения их сумма не может быть отрицательна.
