1.Область определения функции вся числовая прямая ( Множество действительных чисел 2.Область значения функции вся числовая прямая. Функция непрерывна на всей области определения функции. 3. Найдём промежутки монотонности и точки экстремума Для этого найдём производную Она равна 3х²-32х+69 Найдём стационарные точки 1/3(3х²-32х+69)=0 (3х²-32х+69)=0 Д=1024-828=196 х1=(32-14)/6=3 х2=(32+14)/6=46/6=7 2/3 3х²-32х+69=(х-3)(х-7 2/3)
+3-7 2/3+
Функция возрастает на промежутках (-∞; 3) и (7 2/3; +∞) Функция убывает на промежутке (3;7 2/3)
В точке х=3 производная меняет знак с "+" на "-" , значит при х=3 функция достигает максимального значения у=1/3*(3³-16*3²+69*3-54)=9-48+69-18=12 А (3;12) точка максимума В точке х=7 2/3=23/3 функция меняет знак с "-" на "+" значит в этой точке функция принимает минимальное значение
у=1/3((23/3)³-16*(23/3)²+69*23/3-54)=12167/81-8464/27+1587/9-54/3= 12167/81-25392/81+14283/81-1458/81=-337/81=-4 13/81 В(7 2/3 ; -4 13/81) точка минимума
Осталось построить график функции. Можно конечно найти ещё точки перегиба, но для школы это наверное не надо.
Х-в день1,время на половину заказа 1/2х у-в день 2,время на заказ 1/у х+у-в день вместе,время на заказ 1/(х+у) 1/2х-1/у=2⇒у-2х=4ху 1/у-1/(х+у)=1⇒х=ху+у²⇒ху=х-у² подставим в 1 у-2х=4х-4у² 4у²+у=6х х=(4у²+у)/6 у-(4у²+у)/3=(8у³+2у²)/3 3у-4у²-у-8у³-2у²=0 8у³+6у²-2у=0 2у(4у²+3у-1)=0 у=0 не удов усл 4у²/3у-1=0 В=9+16=25 у1=(-3-5)/8=-1 не удов усл у2=(-3+5)/8=1/4-в день 2 1:1/4=4дня выполнит заказ2 х=(4*1/16+1/4)/6=1/2:6=1/12-в день 1 1:1/12=12 дней выполнит заказ 1
х-время на весь заказ 2,1/х-в день 2 2х+4-время на весь заказ 1,1/(2х+4)-в день 1 1/х+1/(2х+4)=(2х+4+х)/х(2х+4)=(3х+4)/х(2х+4)-в день всместе,х(2х+4)/(3х+4)-время вместе х-х(2х+4)/(3х+4)=1 3х²+4х-2х²-4х-3х-4=0 х²-3х-4=0 х1+х2=3 и х1*х2=-4 х1=-1-не удов усл х2=4 дня понадобится 2 2*4+4=12 дней понадобится 1
2.Область значения функции вся числовая прямая. Функция непрерывна на всей области определения функции.
3. Найдём промежутки монотонности и точки экстремума
Для этого найдём производную Она равна 3х²-32х+69
Найдём стационарные точки 1/3(3х²-32х+69)=0
(3х²-32х+69)=0
Д=1024-828=196
х1=(32-14)/6=3
х2=(32+14)/6=46/6=7 2/3
3х²-32х+69=(х-3)(х-7 2/3)
+3-7 2/3+
Функция возрастает на промежутках (-∞; 3) и (7 2/3; +∞)
Функция убывает на промежутке (3;7 2/3)
В точке х=3 производная меняет знак с "+" на "-" , значит при х=3 функция достигает максимального значения
у=1/3*(3³-16*3²+69*3-54)=9-48+69-18=12
А (3;12) точка максимума
В точке х=7 2/3=23/3 функция меняет знак с "-" на "+" значит в этой точке функция принимает минимальное значение
у=1/3((23/3)³-16*(23/3)²+69*23/3-54)=12167/81-8464/27+1587/9-54/3=
12167/81-25392/81+14283/81-1458/81=-337/81=-4 13/81
В(7 2/3 ; -4 13/81) точка минимума
Осталось построить график функции. Можно конечно найти ещё точки перегиба, но для школы это наверное не надо.
у-в день 2,время на заказ 1/у
х+у-в день вместе,время на заказ 1/(х+у)
1/2х-1/у=2⇒у-2х=4ху
1/у-1/(х+у)=1⇒х=ху+у²⇒ху=х-у²
подставим в 1
у-2х=4х-4у²
4у²+у=6х
х=(4у²+у)/6
у-(4у²+у)/3=(8у³+2у²)/3
3у-4у²-у-8у³-2у²=0
8у³+6у²-2у=0
2у(4у²+3у-1)=0
у=0 не удов усл
4у²/3у-1=0
В=9+16=25
у1=(-3-5)/8=-1 не удов усл
у2=(-3+5)/8=1/4-в день 2
1:1/4=4дня выполнит заказ2
х=(4*1/16+1/4)/6=1/2:6=1/12-в день 1
1:1/12=12 дней выполнит заказ 1
х-время на весь заказ 2,1/х-в день 2
2х+4-время на весь заказ 1,1/(2х+4)-в день 1
1/х+1/(2х+4)=(2х+4+х)/х(2х+4)=(3х+4)/х(2х+4)-в день всместе,х(2х+4)/(3х+4)-время вместе
х-х(2х+4)/(3х+4)=1
3х²+4х-2х²-4х-3х-4=0
х²-3х-4=0
х1+х2=3 и х1*х2=-4
х1=-1-не удов усл
х2=4 дня понадобится 2
2*4+4=12 дней понадобится 1