x = π + 2πn, n ∈ Z или x = ±arccos(4/5) + 2πn, n ∈ Z
sin2x + 14cos²x - 8 = 0
2sinxcosx + 14cos²x - 8sin²x - 8cos²x = 0
-8sin²x + 2sinxcosx + 6cos²x = 0 |:(-2cos²x)
4tg²x - tgx - 3 = 0
4tg²x - 4tgx + 3tgx - 3 = 0
4tgx(tgx - 1) + 3(tgx - 1) = 0
(4tgx + 3)(tgx - 1) = 0
4tgx + 3 = 0 или tgx - 1 = 0
tgx = -4/3 или tgx = 1
x = -arctg(4/3) + πn, n ∈ Z или x = π/4 + πn, n ∈ Z
Корни x = π + 2πn и π/4 + πn однозначно не совпадают, поэтому рассмотрим корни ±arccos(4/5) + 2πn и -arctg(4/3) + πn, n ∈ Z.
Первый корень лежит в I или в IV четверти, второй корень лежит в IV и II четверти. Тогда будем далее рассматривать только те корни, которые лежат в одной четверти - это -arccos(4/5) + 2πn и -arctg(4/3) + 2πn, n ∈ Z.
Пусть α = arccos(4/5). Тогда cosα = 4/5 (α - угол первой четверти).
По формуле sin²α + cos²α = 1 находим, что sinα = 3/5.
tgα = sinα/cosα = 4/3:(3/5) = 4/3.
Учитывая то, что мы рассматриваем IV четверть, то sinα = -3/5; tgα = -4/3, отсюда делаем вывод, что корни совпадают.
ответ: -arccos(4/5) + 2πn и -arctg(4/3) + 2πn, n ∈ Z.
5cos2x + 2cosx - 3 = 0
10cos²x - 5 + 2cosx - 3 = 0
10cos²x + 2cosx - 8 = 0
10cos²x + 10cosx - 8cosx - 8 = 0
10cosx(cosx + 1) - 8(cosx + 1) = 0
(10cosx - 8)(cosx + 1) = 0
cosx + 1 = 0 или 10cosx - 8 = 0
cosx = -1 или cosx = 4/5
x = π + 2πn, n ∈ Z или x = ±arccos(4/5) + 2πn, n ∈ Z
sin2x + 14cos²x - 8 = 0
2sinxcosx + 14cos²x - 8sin²x - 8cos²x = 0
-8sin²x + 2sinxcosx + 6cos²x = 0 |:(-2cos²x)
4tg²x - tgx - 3 = 0
4tg²x - 4tgx + 3tgx - 3 = 0
4tgx(tgx - 1) + 3(tgx - 1) = 0
(4tgx + 3)(tgx - 1) = 0
4tgx + 3 = 0 или tgx - 1 = 0
tgx = -4/3 или tgx = 1
x = -arctg(4/3) + πn, n ∈ Z или x = π/4 + πn, n ∈ Z
Корни x = π + 2πn и π/4 + πn однозначно не совпадают, поэтому рассмотрим корни ±arccos(4/5) + 2πn и -arctg(4/3) + πn, n ∈ Z.
Первый корень лежит в I или в IV четверти, второй корень лежит в IV и II четверти. Тогда будем далее рассматривать только те корни, которые лежат в одной четверти - это -arccos(4/5) + 2πn и -arctg(4/3) + 2πn, n ∈ Z.
Пусть α = arccos(4/5). Тогда cosα = 4/5 (α - угол первой четверти).
По формуле sin²α + cos²α = 1 находим, что sinα = 3/5.
tgα = sinα/cosα = 4/3:(3/5) = 4/3.
Учитывая то, что мы рассматриваем IV четверть, то sinα = -3/5; tgα = -4/3, отсюда делаем вывод, что корни совпадают.
ответ: -arccos(4/5) + 2πn и -arctg(4/3) + 2πn, n ∈ Z.
При каких значениях параметра a неравенство
имеет решения?
ограничения на x:
пусть
, тогда:
пусть
- график прямой, проходящей через (0; a), т.е. 
смещённый на a вверх-вниз
См. вложения (красным цветом -
, синим цветом - 
)
график
должен находиться ниже графика 
При
всегда найдётся такой x, что 
Так будет до касания верхней части окружности (рис.2)
Определим точку касания A:
Её координаты (-1;1), а значит график функции
имеет вид 
Следовательно при всех a<2
имеет решения
ответ: