Функция f(x)=sin(2x) + sin(4x)-|cos(x)| периодична с периодом π, т.к. f(x+π)=sin(2x+2π)+sin(4x+4π)-|cos(x+π)|=f(x), поэтому будем искать корни уравнения f(x)=0 только на интервале [0;π). Остальные корни получатся из них прибавлением πk. По формуле суммы синусов 2sin(3x)*cos(x)-|cos(x)|=0 1) Если x∈[0;π/2], то cos(x)≥0, и значит 2sin(3x)*cos(x)-cos(x)=0 cos(x)(2sin(3x)-1)=0 Уравнение cos(x)=0 дает корень x=π/2 Уравнение sin(3x)=1/2 дает 3x=π/6+2πm; x=π/18+2πm/3, из которых на [0;π/2] лежит только π/18. 3x=5π/6+2πm; x=5π/18+2πm/3, из которых на [0;π/2] лежит только 5π/18.
2) Если x∈(π/2;π), то cos(x)<0, и значит 2sin(3x)*cos(x)+cos(x)=0 cos(x)(2sin(3x)+1)=0 Уравнение cos(x)=0 не имеет корней на интервале (π/2;π). Уравнение sin(3x)=-1/2 дает 3x=-π/6+2πm; x=-π/18+2πm/3, из которых на (π/2;π) лежит только 11π/18 при m=1. 3x=-5π/6+2πm; x=-5π/18+2πm/3, из которых на (π/2;π) корней нет, т.к. при m=1 получаем х=7π/18<π/2. Итак, ответ: {π/18+πk, 5π/18+πk, π/2+πk, 11π/18+πk: k∈} .
б) х/(х-4)^2 = x(x+4)/[(x-4)^2*(x+4])] = (x^2+4x)/[(x-4)^2*(x+4])]
7/(х^2-16) = 7/[(x-4)(x+4)] = 7(x-4)/[(x-4)^2*(x+4])] = (7x-28)/[(x-4)^2*(x+4])];
в) 5/(х+1) = 5(x-2)/[(x-2)(x+1)] = (5x-10)/[(x-2)(x+1)]
7/(х-2) = 7(x+1)/[(x-2)(x+1)] = (7x+7)/[(x-2)(x+1)];
г) 4/(х-6) и х/(6-х) = -x/(x-6);
д) х/(х+5)^2 = x(x-5)/[(х+5)^2*(x-5)] = (x^2-5x)/[(х+5)^2*(x-5)]
5/(x^2-25) = 5/[(х+5)*(x-5)] = 5(x+5)/[(х+5)^2*(x-5)] = (5x+25)/[(х+5)^2*(x-5)];
е) 4/(х-3) = 4(x+2)/[(x-3)(x+2)] = (4x+8)/[(x-3)(x+2)]
2/(х+2) = 2(x-3)/[(x-3)(x+2)] = (2x-6)/[(x-3)(x+2)];
ж) х/(х-8) = -3x/(24-3x) и 4х/(24-3х);
з)x/(6-x)^2; - не с чем сравнивать
и)11/(3x+4) = 11(2x-3)/[(2x-3)(3x+4)] = (22x-33)/[(2x-3)(3x+4)]
12/(2х-3) = 12(3x+4)/[(2x-3)(3x+4)] = (36x+48)/[(2x-3)(3x+4)];
к)х/(х-7) = -3x/(21-3x) и 11/(21-3х);
л)x/(7-x)^2 = x(x+7)/[(x-7)^2*(x+7)] = (x^2+7x)/[(x-7)^2*(x+7)]
4/(x^2-49) = 4(x-7)/[(x-7)^2*(x+7)] = (4x-28)/[(x-7)^2*(x+7)];
м)13/(3х-4) = 13(2x+3)/[(3x-4)(2x+3)] = (26x+39)/[(3x-4)(2x+3)]
11/(2х+3) = 11(3x-4)/[(3x-4)(2x+3)] = (33x-44)/[(3x-4)(2x+3)].
f(x+π)=sin(2x+2π)+sin(4x+4π)-|cos(x+π)|=f(x), поэтому будем искать корни уравнения f(x)=0 только на интервале [0;π). Остальные корни получатся из них прибавлением πk.
По формуле суммы синусов
2sin(3x)*cos(x)-|cos(x)|=0
1) Если x∈[0;π/2], то cos(x)≥0, и значит
2sin(3x)*cos(x)-cos(x)=0
cos(x)(2sin(3x)-1)=0
Уравнение cos(x)=0 дает корень x=π/2
Уравнение sin(3x)=1/2 дает
3x=π/6+2πm; x=π/18+2πm/3, из которых на [0;π/2] лежит только π/18.
3x=5π/6+2πm; x=5π/18+2πm/3, из которых на [0;π/2] лежит только 5π/18.
2) Если x∈(π/2;π), то cos(x)<0, и значит
2sin(3x)*cos(x)+cos(x)=0
cos(x)(2sin(3x)+1)=0
Уравнение cos(x)=0 не имеет корней на интервале (π/2;π).
Уравнение sin(3x)=-1/2 дает
3x=-π/6+2πm; x=-π/18+2πm/3, из которых на (π/2;π) лежит только 11π/18 при m=1.
3x=-5π/6+2πm; x=-5π/18+2πm/3, из которых на (π/2;π) корней нет, т.к. при m=1 получаем х=7π/18<π/2.
Итак, ответ: {π/18+πk, 5π/18+πk, π/2+πk, 11π/18+πk: k∈