logo
Войти Регистрация Спроси ai-bota
В
Все
М
Математика
О
ОБЖ
У
Українська мова
Д
Другие предметы
Х
Химия
М
Музыка
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
Э
Экономика
Ф
Физика
Б
Биология
О
Окружающий мир
Р
Русский язык
У
Українська література
Ф
Французский язык
П
Психология
А
Алгебра
О
Обществознание
М
МХК
В
Видео-ответы
Г
География
П
Право
Г
Геометрия
А
Английский язык
И
Информатика
Қ
Қазақ тiлi
Л
Литература
И
История
alinkamalina04
alinkamalina04
06.12.2020 17:15 •  Алгебра

Положительные числа a, b, с таковы, что abc =1. докажите неравенство

Показать ответ
Ответ:
дариана2006
дариана2006
02.10.2020 03:59
 
abc=1\\
\frac{1}{a^3(b+c)} + \frac{1}{b^3(a+c)} + \frac{1}{c^3(b+a)} \geq \frac{3}{2}\\\\
 
После приведения под общим  знаменатель,получим                     
\frac{(ab+ac+bc)(a^3b^3+a^3c^3+a^2b^2c^2+b^3c^3)}{a^3b^3c^3(a+b)(a+c)(b+c)} = \\\\
abc=1\\\\
\frac{(ab+ac+bc)(a^3b^3+a^3c^3+b^3c^3+1)}{ (a+b)(a+c)(b+c)}

  
 Теперь по неравенству о средних получим 
 \frac{a^3b^3+a^3c^3+b^3c^3}{3} \geq \sqrt[3]{a^6b^6c^6}=a^2b^2c^2=1
 то есть a^3b^3+a^3c^3+c^3b^3 \geq 3 с учетом того что a0;b0;c0 
Так же            (a+b)(b+c)(a+c)=a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2+2\\
\frac{a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2}{6} \geq 1\\
a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2 \geq 6 
И включая \frac{(ab+bc+ac)*4}{8} \geq \frac{3}{2}\\
\frac{ab+bc+ac}{2} \geq \frac{3}{2} 
 прихожим к более легкому неравенству 
 ab+bc+ac \geq 3\\
\frac{ab+bc+ac}{3} \geq 1 \\
 \frac{ab+bc+ac}{3} \geq \sqrt[3]{a^2b^2c^2}=1
 
 то есть минимальное значение это \frac{3}{2}
 Что и требовалось  доказать
0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Алгебра
55d
55d
26.07.2022 01:34
За 7 тетрадей и 4 ручки заплатили 18 грн 50коп. После того, как тетради подешевели на 40%, а ручки на 20% одна ручка стала дороже одной тетради на 70 коп. Какими были первоначальные...
user15042001
user15042001
02.11.2021 05:21
Розв’яжіть графічно систему рівнянь:{4х+у=2, 2х+3у=8...
OppLeech
OppLeech
02.11.2021 05:21
Арифметическая прогрессия(an) задана условиями аn =5,6 + 0,6n Найдите сумму первых четырнадцати еѐ членов....
biktimirovandre
biktimirovandre
17.08.2021 14:02
Вставить слова: Решением линейного уравнения ax+by=c с двумя переменными называется переменных, обращающая это уравнение в равенство...
98722
98722
21.03.2022 13:15
На рисунку выделено Троє робітників виготовили 72 деталі. Один із них виготовив у 3 рази більше деталей, ніж другий, а третій на 12 деталей більше, ніж другий. Скільки деталей виготовив...
dina15777
dina15777
17.10.2022 01:24
Y=x+3 и y=2x+1 найди координаты точек их пересечения...
lcdnek198
lcdnek198
19.06.2021 13:54
18 а2-18а+4 1-3а+б-3аб сократите дробь, ; 3...
OxanchikG
OxanchikG
19.06.2021 13:54
Составьте какое-либо тождество: а)содержащее одну переменную; б)содержащее две переменные....
aleks1632
aleks1632
19.06.2021 13:54
Решить систему уравнений 2x-y=5 3x-2y=15...
Daavv33
Daavv33
19.06.2021 13:54
Решить 2 целых 11/12 : (-5 целых 5/6)+ 18/35: 3/7 и (-1/4-7/8) : (-1 целая 1/4)...
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
О НАС
СООБЩЕСТВО
ПОМОЩЬ
App
.
.
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота