Построить график функции у = х - 6х + 4 .найдите вершину параблы . промемежутки возрастания и убывания данной функции. нули функции

Дана функция у = (-1/3)x^3+x^2.
1-найти область определения функции и определить точки разрыва - ограничений нет, D = R, разрывов нет.
2-Выяснить является ли чётной или нечётной.
Проверим функци чётна или нечётна с соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
 f(-x) = (-1/3)x³ + x²  = (1/3)x³ + x² 
- Нет
 -f(-x) = -((-1/3)x³ + x²) = -((1/3)x³ + x²) = -(1/3)x³ - x² 
- Нет, значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
3-определить точки пересечения функции с координатными осями .
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
(-1/3)x³+ x² = 0.
-x³ + 3x² = 0.
-x²(x-3) = 0.
Имеем 2 корня: х = 0 и х = 3.
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в y = (-1/3)x^3 +x^2.
y = (-1/3)0³+0² = 0. Точка: (0, 0) 
4-найти критические точки функции.
Находим производную и приравниваем её нулю:
y' = -x²+2x = -x(x-2).
Имеем 2 критические точки: х = 0 и х = 2.
5-определить промежутки монотонности 
(возрастания,убывания).
Исследуем поведение производной вблизи критических точек.
х =                -0.5    0    0.5      1.5     2     2.5
y'=-x^2+2x   -1.25    0   0.75    0.75    0   -1.25
Где производная отрицательна - функция убывает, где положительна - функция возрастает.
Возрастает на промежутке
[0, 2]
Убывает на промежутках
(-oo, 0] U [2, oo)
6-определить точки экстремума.
Они уже найдены: это 2 критические точки: х = 0 и х = 2.
Где производная меняет знак с - на + это минимум функции, а где с + на - это максимум функции.
Минимум функции в точке: x = 0,
Максимум функции в точке: х = 2.
7 -определить максимальное и минимальное значение функции.
Значения функции в экстремальных точках:
х = 2, у = (-1/3)*2³+2² = -8/3 + 4  = 4/3,
х = 0, у = 0.
8- определить промежутки вогнутости и выпуклости кривой,найти точки перегиба.
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2/dx2f(x)=0(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции,
d2/dx2f(x)= -2х + 2 =-2(x−1)=0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=1
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 1]
Выпуклая на промежутках
[1, oo)

Постройте график функции у=х2-2х-8. Найдите с графика:

а) значение у при х=-1,5;

б) значение х, при которых у=3;

в) нули функции; промежутки, в которых у>0 и в которых у<0;

г) промежуток, в котором функция возрастает.

Для построения вычислим коорд. вершины: х0=-(-2)/2=1,  у0=у(1)=1-2-8=-9

Нули ф-ции: у=0   х2-2х-8=0    х1=-2, х2=4

а) х=1,5   у≈ -8,75

б)  х ≈ 4.5

в) Нули: х=-2; х=4

y>0 при х<-2  и х>4

y<0  при x€ (-2;4)

г)  у возрастает при х>1    (1; +∞)  

liliana  

Администратор  ( +3063 )  

22.11.2014 21:50

Комментировать  

№ 1. Построить график функции у=х2-2х-3, где х€(-∞;+ ∞) и определить область значения этой функции при указанных х.

График - парабола, ветви направлены вверх. Строится по схеме.

1) Находим нули функции, решая уравнение х2 -2х -3 = 0;  

х1=-1;    х2=3.

2) Координаты вершины параболы: х0=-b/(2a) = 2/2=1;

y0 = y(1) = 1-2-3 = -4

3) Найдем координаты точки пересечения графика с осью ОY:

x=0;  y=-3.

4) Строим график по найденным точкам. Ось симметрии - прямая х=1

Можно вычислить значение функции в дополнительной точке, например, х=-2.

Получим у(-2) = 4+4-3= 5.

     

Область определения D(y)=R

Область значений  Е(у)=[4; +∞).

Объяснение: