Дана функция y=x^3-3x-5. Исследуйте функцию и постройте ее график. Для этого найдите: а) Область определения D(y) = R; б) Производную и критические точки; y' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1). Имеем 2 критические точки: х = 1 и х = -1. в) Промежутки монотонности; Имеем 3 промежутка значений функции: (-∞; -1), (-1; 1) и (1; +∞).
найденные точки выставляются на числовой прямой; к ним добавляются те точки, в которых производная не определена.
Если производная представлена произведением, то оно равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, и другие при этом не теряют смысла. На промежутках находят знаки производной). Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. x = -2 -1 0 1 2 y' = 9 0 -3 0 9. На промежутках (-∞; -1) и (1; +∞) функция возрастает, на промежутке (-1; 1) функция убывает. г) Точки экстремума и экстремумы; По выше приведенной таблице: точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума. х = -1 точка максимума, х = -1 точка минимума. д) Точку пересечения графика с осью OY и еще несколько точек графика; х = 0, у = -5. е) Нули функции при у =0. Надо решить уравнение x^3-3x-5 = 0. Для вычисления корней данного кубического уравнения используются формулы Кардано. Решение сложное, ответ: х = 2.27902. y(x)=x³−3x−5 таблица точек:xy -5.0 -115 -4.5 -82.6 -4.0 -57 -3.5 -37.4 -3.0 -23 -2.5 -13.1 -2.0 -7 -1.5 -3.9 -1.0 -3 -0.5 -3.6 0 -5 0.5 -6.4 1.0 -7 1.5 -6.1 2.0 -3 2.5 3.1 3.0 13 3.5 27.4 4.0 47 4.5 72.6 5.0 105. Можно воспользоваться программой Excel для получения этих точек.
Если дан дан график производной, и необходимо найти экстремумы, нужно найти точки пересечения графика произв. с осью Ох ("нули" производной). Если при переходе через эту точку график произв. идет из отрицательной области в положительную (произв. меняет знак с минуса на плюс), функция соответственно меняется с убывания на возрастание, значит сама точка является точкой минимума. Аналогично если при переходе через эту точку график произв. идет из положительной области в отрицательную, функция меняется с возрастания на убывание, тогда точка является точкой максимума.
Исследуйте функцию и постройте ее график.
Для этого найдите:
а) Область определения D(y) = R;
б) Производную и критические точки;
y' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1).
Имеем 2 критические точки: х = 1 и х = -1.
в) Промежутки монотонности;
Имеем 3 промежутка значений функции: (-∞; -1), (-1; 1) и (1; +∞).
найденные точки выставляются на числовой прямой; к ним добавляются те точки, в которых производная не определена.
Если производная представлена произведением, то оно равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, и другие при этом не теряют смысла.На промежутках находят знаки производной). Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает.
x = -2 -1 0 1 2
y' = 9 0 -3 0 9.
На промежутках (-∞; -1) и (1; +∞) функция возрастает,
на промежутке (-1; 1) функция убывает.
г) Точки экстремума и экстремумы;
По выше приведенной таблице: точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
х = -1 точка максимума, х = -1 точка минимума.
д) Точку пересечения графика с осью OY и еще несколько точек графика;
х = 0, у = -5.
е) Нули функции при у =0.
Надо решить уравнение x^3-3x-5 = 0.
Для вычисления корней данного кубического уравнения используются формулы Кардано.
Решение сложное, ответ: х = 2.27902.
y(x)=x³−3x−5 таблица точек:xy -5.0 -115 -4.5 -82.6 -4.0 -57 -3.5 -37.4 -3.0 -23 -2.5 -13.1 -2.0 -7 -1.5 -3.9 -1.0 -3 -0.5 -3.6 0 -5 0.5 -6.4 1.0 -7 1.5 -6.1 2.0 -3 2.5 3.1 3.0 13 3.5 27.4 4.0 47 4.5 72.6 5.0 105.
Можно воспользоваться программой Excel для получения этих точек.
Если дан дан график производной, и необходимо найти экстремумы, нужно найти точки пересечения графика произв. с осью Ох ("нули" производной). Если при переходе через эту точку график произв. идет из отрицательной области в положительную (произв. меняет знак с минуса на плюс), функция соответственно меняется с убывания на возрастание, значит сама точка является точкой минимума. Аналогично если при переходе через эту точку график произв. идет из положительной области в отрицательную, функция меняется с возрастания на убывание, тогда точка является точкой максимума.