Для решения данной задачи, нам потребуется знать формулу для вычисления суммы геометрической прогрессии и формулу для вычисления n-го члена геометрической прогрессии.
Формула для вычисления суммы геометрической прогрессии:
S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)
где S_n - сумма первых n членов геометрической прогрессии,
a - первый член геометрической прогрессии,
q - знаменатель геометрической прогрессии,
n - количество членов геометрической прогрессии.
Формула для вычисления n-го члена геометрической прогрессии:
a_n = a * q^(n-1)
где a_n - n-й член геометрической прогрессии.
Теперь решим задачу.
У нас дано: S_4 = 272.5, и нам нужно найти первый член геометрической прогрессии (a).
Мы знаем, что четвёртая сумма членов геометрической прогрессии равна 272.5. Подставим это в формулу для вычисления суммы:
272.5 = a * (q^4 - 1) / (q - 1)
Теперь, чтобы решить это уравнение и найти a, нам понадобится ещё одно условие. В задании дано, что количество членов геометрической прогрессии равно 3 (n = 3).
Теперь, то есть два уравнения с двумя неизвестными (a и q):
1) 272.5 = a * (q^4 - 1) / (q - 1)
2) n = 3
Мы знаем из формулы для вычисления n-го члена геометрической прогрессии, что a_n = a * q^(n-1). Теперь если мы решим это уравнение с помощью условия n = 3, то сможем найти a.
Мы знаем, что a_3 = a * q^(3-1), или a_3 = a * q^2. Также, a_3 равно третьему члену геометрической прогрессии (при n = 3).
Теперь можно составить уравнение на основе второго условия:
a * q^2 = a_3
У нас есть два уравнения:
1) 272.5 = a * (q^4 - 1) / (q - 1)
2) a * q^2 = a_3
Теперь, решая это систему уравнений, можно найти значения a и q. Подставив значение q во второе уравнение, можно найти a.
Таким образом, пошаговое решение выглядит следующим образом:
1. Решаем систему уравнений:
- 272.5 = a * (q^4 - 1) / (q - 1)
- a * q^2 = a_3
2. Подставляем значение q из первого уравнения во второе уравнение:
- a * (q^4 - 1) / (q - 1) * q^2 = a_3
3. Решаем получившееся уравнение для a.
4. Подставляем найденное значение a в первое уравнение, чтобы найти q.
5. Подставляем найденные значения a и q обратно во второе уравнение, чтобы найти a_3.
6. Подставляем найденное значение a в формулу для вычисления первого члена геометрической прогрессии:
- a = a_1
Таким образом, мы можем использовать систему уравнений, чтобы найти первый член геометрической прогрессии.
1. Прежде всего, нам нужно найти все трехзначные числа, которые кратны 3. Для этого мы можем обратиться к свойствам чисел, кратных 3. Сумма цифр каждого числа, кратного 3, также должна быть кратной 3.
2. Так как трехзначные числа представляются в формате "XYZ", где X, Y и Z представляют собой цифры, мы должны найти все возможные значения для каждой из этих цифр.
3. Сначала найдем все возможные значения для X. Поскольку числа должны быть трехзначными, X не может быть равно 0. Допустимые значения для X будут 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.
4. Затем найдем все возможные значения для Y. Прежде всего, мы знаем, что сумма X + Y + Z должна быть кратной 3, поэтому просуммируем все значения X для каждого возможного значения Y и вычислим остаток от деления суммы на 3. Теперь мы можем выяснить, какие значения Y допустимы. Если модуль этого значения равен 0 или 3, то Y будет допустимым значением. Таким образом, допустимые значения для Y будут 0, 3, 6 и 9.
5. Наконец, найдем все возможные значения для Z. Опять же, мы просуммируем все значения X и Y для каждого значения Z и проверим, делится ли сумма на 3. В данном случае, мы обнаружим, что Z может принимать любые значения от 0 до 9.
6. Теперь у нас есть все возможные комбинации X, Y и Z, которые удовлетворяют условиям трехзначных чисел, кратных 3. Мы можем записывать их следующим образом:
- 102, 105, 108, 111, ..., 999.
7. Осталось лишь найти сумму всех этих чисел.
102 + 105 + 108 + ... + 999 = (102 + 999) + (105 + 996) + (108 + 993) + ... + (111 + 990).
8. Обратите внимание, что каждое доступное число участвует в сумме одинаковое количество раз. У нас есть 9 комбинаций X, по 10 комбинаций Y для каждой из них, и каждая из этих комбинаций Y соответствует 10 комбинациям Z. Таким образом, у нас есть 9 комбинаций X, 10 комбинаций Y и 10 комбинаций Z, что в сумме дает 9 * 10 * 10 = 900.
9. Теперь мы можем заполнить пропущенную часть выражения: (102 + 999) + (105 + 996) + (108 + 993) + ... + (111 + 990) = 900 * (102 + 111 + 999 + 990) / 2. Здесь мы используем формулу суммы арифметической прогрессии.
Можно заметить, что сумма чисел 102 + 111 + 999 + 990 равна 2202.
10. Таким образом, окончательный ответ будет 900 * 2202 / 2 = 990900.
Таким образом, сумма всех трехзначных чисел, кратных 3, но не кратных 2, равна 990900.
Формула для вычисления суммы геометрической прогрессии:
S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)
где S_n - сумма первых n членов геометрической прогрессии,
a - первый член геометрической прогрессии,
q - знаменатель геометрической прогрессии,
n - количество членов геометрической прогрессии.
Формула для вычисления n-го члена геометрической прогрессии:
a_n = a * q^(n-1)
где a_n - n-й член геометрической прогрессии.
Теперь решим задачу.
У нас дано: S_4 = 272.5, и нам нужно найти первый член геометрической прогрессии (a).
Мы знаем, что четвёртая сумма членов геометрической прогрессии равна 272.5. Подставим это в формулу для вычисления суммы:
272.5 = a * (q^4 - 1) / (q - 1)
Теперь, чтобы решить это уравнение и найти a, нам понадобится ещё одно условие. В задании дано, что количество членов геометрической прогрессии равно 3 (n = 3).
Теперь, то есть два уравнения с двумя неизвестными (a и q):
1) 272.5 = a * (q^4 - 1) / (q - 1)
2) n = 3
Мы знаем из формулы для вычисления n-го члена геометрической прогрессии, что a_n = a * q^(n-1). Теперь если мы решим это уравнение с помощью условия n = 3, то сможем найти a.
Мы знаем, что a_3 = a * q^(3-1), или a_3 = a * q^2. Также, a_3 равно третьему члену геометрической прогрессии (при n = 3).
Теперь можно составить уравнение на основе второго условия:
a * q^2 = a_3
У нас есть два уравнения:
1) 272.5 = a * (q^4 - 1) / (q - 1)
2) a * q^2 = a_3
Теперь, решая это систему уравнений, можно найти значения a и q. Подставив значение q во второе уравнение, можно найти a.
Таким образом, пошаговое решение выглядит следующим образом:
1. Решаем систему уравнений:
- 272.5 = a * (q^4 - 1) / (q - 1)
- a * q^2 = a_3
2. Подставляем значение q из первого уравнения во второе уравнение:
- a * (q^4 - 1) / (q - 1) * q^2 = a_3
3. Решаем получившееся уравнение для a.
4. Подставляем найденное значение a в первое уравнение, чтобы найти q.
5. Подставляем найденные значения a и q обратно во второе уравнение, чтобы найти a_3.
6. Подставляем найденное значение a в формулу для вычисления первого члена геометрической прогрессии:
- a = a_1
Таким образом, мы можем использовать систему уравнений, чтобы найти первый член геометрической прогрессии.
1. Прежде всего, нам нужно найти все трехзначные числа, которые кратны 3. Для этого мы можем обратиться к свойствам чисел, кратных 3. Сумма цифр каждого числа, кратного 3, также должна быть кратной 3.
2. Так как трехзначные числа представляются в формате "XYZ", где X, Y и Z представляют собой цифры, мы должны найти все возможные значения для каждой из этих цифр.
3. Сначала найдем все возможные значения для X. Поскольку числа должны быть трехзначными, X не может быть равно 0. Допустимые значения для X будут 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.
4. Затем найдем все возможные значения для Y. Прежде всего, мы знаем, что сумма X + Y + Z должна быть кратной 3, поэтому просуммируем все значения X для каждого возможного значения Y и вычислим остаток от деления суммы на 3. Теперь мы можем выяснить, какие значения Y допустимы. Если модуль этого значения равен 0 или 3, то Y будет допустимым значением. Таким образом, допустимые значения для Y будут 0, 3, 6 и 9.
5. Наконец, найдем все возможные значения для Z. Опять же, мы просуммируем все значения X и Y для каждого значения Z и проверим, делится ли сумма на 3. В данном случае, мы обнаружим, что Z может принимать любые значения от 0 до 9.
6. Теперь у нас есть все возможные комбинации X, Y и Z, которые удовлетворяют условиям трехзначных чисел, кратных 3. Мы можем записывать их следующим образом:
- 102, 105, 108, 111, ..., 999.
7. Осталось лишь найти сумму всех этих чисел.
102 + 105 + 108 + ... + 999 = (102 + 999) + (105 + 996) + (108 + 993) + ... + (111 + 990).
8. Обратите внимание, что каждое доступное число участвует в сумме одинаковое количество раз. У нас есть 9 комбинаций X, по 10 комбинаций Y для каждой из них, и каждая из этих комбинаций Y соответствует 10 комбинациям Z. Таким образом, у нас есть 9 комбинаций X, 10 комбинаций Y и 10 комбинаций Z, что в сумме дает 9 * 10 * 10 = 900.
9. Теперь мы можем заполнить пропущенную часть выражения: (102 + 999) + (105 + 996) + (108 + 993) + ... + (111 + 990) = 900 * (102 + 111 + 999 + 990) / 2. Здесь мы используем формулу суммы арифметической прогрессии.
Можно заметить, что сумма чисел 102 + 111 + 999 + 990 равна 2202.
10. Таким образом, окончательный ответ будет 900 * 2202 / 2 = 990900.
Таким образом, сумма всех трехзначных чисел, кратных 3, но не кратных 2, равна 990900.