Потрібно розв‘язати рівняння

Объяснение:

x²+(3a-4)x-12a=0.

Введем функцию f(x)=x²+(3a-4)x-12a.

Чтобы корни уравнения принадлежали промежутку (-1;5), необходимо выполнение условий:

1) D >= 0 - существование решений

2) x в. ∈ (-1; 5) - вершина параболы между заданными границами

3) f(-1) > 0 - меньший корень уравнения больше -1, но меньше x в.

4) f(5) > 0 - больший корень уравнения больше x в., но меньше 5.

Тогда:

1) D = (3a-4)²-4*(-12a)=(3a)²-24a+4²+48a=(3a)²+24a+4²=(3a+4)²≥0 - выполняется всегда

2) x в. = -(3a-4) / 2 ∈ (-1; 5)

Отсюда -1 < -(3a-4) / 2 < 5

-2 < -(3a-4) < 10

-10 < 3a-4 < 2

-6 < 3a < 6

-2 < a < 2

3) f(-1) = (-1)²+(3a-4)*(-1)-12a = 1-3a+4-12a=5-15a > 0.

Отсюда a < 1/3

4) f(5) = 5²+(3a-4)*5-12a = 25+15a-20-12a = 5+3a > 0.

Отсюда a > -5/3

Таким образом, a∈(-5/3; 1/3)

Дано:

S₅ = 15,

S₂₀ = 360 ,

Формула

Sₙ= (2a₁ + (n-1)*d)/2 * n  

Поэтому

S₅ = (2a₁ + 4d)/2 * 5,

S₂₀ =  (2a₁ + 19d)/2 * 20,

Решаем систему

//  (2a₁ + 4d)/2 * 5 = 15,

//   (2a₁ + 19d)/2 * 20 = 360,

Упрощая получим

//  10a₁ + 20d = 30,

//  40a₁ + 380d = 720,

или :

//  a₁ + 2d = 3,

//  4a₁ + 38d = 72,

Умножим первое уравнение на -4:

//  -4a₁ - 8d = -12,

//  4a₁ + 38d = 72,

складываем :

-4a₁ - 8d + 4a₁ + 38d = -12 + 72,

30d = 60,

d = 2,

из 1 ур-ия a₁ + 2d = 3  получим:

а₁ = 3 - 2d = 3 - 2*2 = 3 - 4 = -1,

S₂₅ = (2a₁ + 24d)/2 * 25 = (-1*2 + 24*2)/2 * 25 =

= (-2+48)/2 * 25 = 46/2 * 25 = 23 * 25 = 575