Практические задания по теме «Определение производной».
Задание №1. Составить разностное отношение.
Образец решения:
а) Дано: f(x) = 4x+3;
Найти: f(x+Δx)-f(x)
Решение:
1) Приращение аргумента: x+Δx
2) Приращение функции: f(x+Δx) = 4(x+Δx)+3=4x+4Δx+3
3) Разностное отношение: f(x+Δx) – f(x)=(4x+4Δx+3)-(4x)=4x+4Δx+3-4x=4Δx+3
ответ: f(x+Δx) – f(x)= 4Δx+3
Выполните самостоятельно по образцу:
б) f(x) = 8x
в) f(x) = x-1
г) f(x) = 4x2
Задание №2. Используя определение производной, найти f′(x).
Образец решения:
а) Дано: f(x) = 4x2.
Найти: f′(x).
Решение:
1) f(x) = 4x2.
2) f(x+∆x) = 4•(x+∆x)2 = 4•(x2+2x • ∆x+ (∆x)2) =4x2+8x • ∆x+ 4(∆x)2.
3) ∆y= f(x+∆x) - f(x) =4x2+8x • ∆x+ 4(∆x)2 - 4x2 = 8x • ∆x+4 (∆x)2 .
4)
5)
ответ: производная функции f(x) =4 x2 равна: f′(x) = 8x (или (x2)′=8x)
Выполните самостоятельно по образцу:
б) f(x) = 3x +2
в)f(x) = 3x2-5
Объяснение:
2. а14 равен 2,9,
а10 равен 0,5. Найдите первый член и разность этой арифметической прогрессии.
Решение. По формуле an=(n-1)в, находим:
а14=а1+13d;
а10=а1+9d;
2,9=а1+13d; [*(-1)]
0.5 =a1+9d;
-2.9=-a1-13d;
0.5=a1+9d;
Складываем:
-2,9+0,5=-13d+9d
-2.4=-4d;
d= 0.6;
Найдем a1:
0.5=a1+9*0.6;
0.5=a1+5.4;
a1=5.4-0.5=4.9.
a1=4.9.
***
3) Найдите сумму первых двадцати девяти членов арифметической прогрессии -3,5; -3,7;...
Решение.
а1=-3,5; а2= -3,7; ... d=-3.7 - (-3.5)= -3.7 + 3.5= - 0.2;
а29=-3.5 + (29-1) *(-0.2) = -3.5 +28*(-0.2)=-3.5 - 5.6 = - 9.1;
Сумма первых n членов арифметической прогресс равна
Sn= n*(a1+an) / 2.
S=29 * (a1+a29)/2 = 29*(-3.5 -9.1)/2 = 29* (-12.6)/2= - 365.4 / 2 = -182.7
S29= -182,7.
***
4) Сколько первых членов арифметической прогрессии
–12; -10; -8; ...
нужно сложить, чтобы получить -36?
Решение.
Sn=-36; a1=-12; d=-8 - (-10)=-8+10 = 2;
d=2;
an=a1+(n-1)d= -12+(n-1)*2= -12+2n-2= -14+2n;
Sn=n*(a1+an)/2;
-36=n*(-12-14+2n)/2;
-36=n*(-26+2n)/2;
-36=n*(-13+n);
-36=-13n+n²;
n²-13n +36=0;
По теореме Виета
n1+n2=13; n1*n2=36;
n1=9; n2=4;
a9=-12+8*2=-12+16=4;
a4=-12+3*2=-12 +6= -6;
S9=9*(-12+4)/2=9*(-8)/2=-72/2=-36;
S4=4*(-12+(-6))/2 = 4*(-18)/2 = -72/2=-36.
ответ: 9 или 4.
3. Найдите сумму первых двадцати девяти членов арифме-
тической прогрессии -3,5; -3,7;
4. Сколько первых членов арифметической прогрессии –12;
-10; -8; ... нужно сложить, чтобы получить -36?
Объяснение:
Сначала построим график функции y=x² (график этой функции – это парабола). Для этого достаточно определить 3 точки:
| x | -1 | 0 | 1 |
| y | 1 | 0 | 1 |
Для построения графиков функций y=x²-2 и y=x²+2 воспользуемся свойством (см. рисунок):
График y=f(x)+a получается из графика функции y=f(x) параллельным переносом последнего вдоль оси ординат на a единиц вверх, если a>0, и на |a| единиц вниз, если a<0.
а) Область определения функции y=x²-2: D(y)=(-∞; +∞),
Множество значений функции y=x²-2: E(y)=[-2; +∞).
b) Область определения функции y=x²+2: D(y)=(-∞; +∞),
Множество значений функции y=x²+2: E(y)=[2; +∞).