Представьте в виде многочлена а) (x+y); е) (9 - у);
б) (p-q); ж) (a +12)2;
в) (b+ 3)2; 3) (15-x)2;
г) (10-с)2; и) (b 0,5);
д) (у – 9), к) (0,3-т).

Преобразуйте в многочлен:

а) (m+n)2; д) (а - 25);
б) (с - d)2; е) (40+b);
в) (x+9)2; ж) (0,2-х);
г) (8- а)2; 3) (k=0,5).

Т.к. sin(x) - непрерывная функция, она интегрируема, и можно выбирать любое разбиение с любыми точками на нем. Разобьем [a,b] на n равных частей и возьмем значения функции в левых точках получившихся отрезков:
∑ sin(a + k*(b-a)/n) * (b-a)/n, где k = 0 .. n-1

Далее преобразуем слагаемые в разности косинусов:
sin(a + k*(b-a)/n) = sin(a + k*(b-a)/n) * sin( (b-a)/2n ) / sin( (b-a)/2n ) = 1/(2sin((b-a)/2n)) * [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)]

Здесь были применены формулы
cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)
cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)
Тогда sin(x)sin(y) = 1/2 (cos(x-y) - cos(x+y))
Где x = a + k*(b-a)/n, y = (b-a)/2n

y было выбрано так, чтобы все косинусы, кроме крайних, попадали в сумму с разными знаками и сокращались.

Исходная сумма ∑ sin(a + k*(b-a)/n) * (b-a)/n преобразуется к виду
(b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) * ∑ [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)], k = 0 .. n-1

Т.к. cos(a + (k + 1/2) * (b-a)/n) = cos(a + ((k+1)-1/2) * (b-a)/n), соответствующие слагаемые в сумме сокращаются, как и рассчитывалось. Т.е.

∑ [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)] = cos(a - 1/2 (b-a)/n) - cos(a + (n - 1/2)*(b-a)/n)

При n ⇒ ∞, это выражение стремится к cos(a) - cos(b)

Что касается коэффициента (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) перед суммой, при n ⇒ ∞ синус стремится к своему аргументу, т.е. (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) ⇒ (b-a)/n * 1/(2 * (b-a)/2n)) = 1

Т.е. сумма стремится cos(a) - cos(b) при n ⇒ ∞, причем этот предел по определению и является искомым определенным интегралом (диаметр разбиения (b-a)/n стремится к 0)

Пусть скорость течения реки х км/ч

Тогда собственная скорость катера 4х

Время, которое катер плыл против течения до встречи с плотом, примем за у.

 S = v t, где S - расстояние, v - скорость, t -время. 

До встречи с плотом катер проплыл против течения и у(4х-х)=3ху
а плот за то же время

ху

Расстояние от А до В равно

3ху + ху=4ху

По терчению от  места встречи с плотом до пункта В катер плыл со скоростью

4х+х=5х и  затратил

3ху:5х= 3/5 у часов или 0,6 у  часов

За это же время плот проплыл 0,6 ху

Всего с момента отправления из пункта А до времени прибытия катера в В плот пройдет

ху+0,6 ху=1, 6 ху

 

Это расстояние составляет от всего расстояния от А до В

1,6ху:4ху=0.4 часть или  2/5

ответ: К моменту возвращения катера в пункт В плот пройдет 2/5 пути от А до В.