Сделаем подстановку 2х = t и рассмотрим функцию у = cos(t).Поскольку функция у = cos(t) является периодической с наименьшим положительным периодом, равным 2π, то выполняется следующее соотношение:cos(t) = cos(t + 2π).Возвращаясь к сделанной подстановке, получаем следующее соотношение:cos(2х) = cos(2х + 2π) = cos(2 * (х + π)).Следовательно, функция у = cos(2х) является периодической с периодом, равным π.Покажем, что данные период является наименьшим положительным.Допустим, существует положительный период данной функции, меньший чем π.Пусть этот период равен T.Тогда должно выполняться следующее соотношение:cos(2х) = cos(2(х + Т)) = cos(2х + 2Т) .Следовательно, число 2Т должно являться периодом функции у = cos(t).Однако такого не может быть, поскольку 2Т < 2π, а число 2π является наименьшим положительным периодом функции у = cos(t).Следовательно, π является наименьшим положительным периодом функции у = cos(2х).ответ: наименьший положительный период функции у=cos2x равен π.
В решении.
Объяснение:
91.
Построить график функции у = х² - 4х + 3;
Уравнение квадратичной функции, график - парабола со смещённым центром, ветви направлены вверх.
Придать значения х, подставить в уравнение, вычислить у, записать в таблицу.
Таблица:
х -1 0 1 2 3 4 5
у 8 3 0 -1 0 3 8
По вычисленным точкам построить параболу.
Пользуясь графиком, определить:
1) у наим. и у наиб.;
у наиб. не существует;
у наим. = -1;
2) область значений функции;
Область значений Е(у) >= -1;
3) промежутки возрастания и убывания функции;
Функция возрастает при х∈(2; +∞);
Функция убывает при х∈(-∞; 2);
4) решения неравенств f(x)>0; f(x)<=0.
f(x)>0 при х∈(-∞; 1)∪(3; +∞); парабола выше оси Ох;
f(x)<=0 при х[1; 3]; парабола ниже оси Ох.
92.
Построить график функции у = 6х - 3х²;
у = -3х² + 6х;
Уравнение квадратичной функции, график - парабола со смещённым центром, ветви направлены вниз.
Придать значения х, подставить в уравнение, вычислить у, записать в таблицу.
Таблица:
х -1 0 1 2 3
у -9 0 3 0 -9
По вычисленным точкам построить параболу.
Пользуясь графиком, определить:
1) у наим. и у наиб.;
у наим. не существует;
у наиб. = 3;
2) область значений функции;
Область значений Е(у) <= 3;
3) промежутки возрастания и убывания функции;
Функция возрастает при х∈(-∞; 1);
Функция убывает при х∈(1; +∞);
4) решения неравенств f(x)>0; f(x)<=0.
f(x)>0 при х∈(0; 2); парабола выше оси Ох;
f(x)<=0 при х∈(-∞; 0]∪[2; +∞); парабола ниже оси Ох.