Среди чисел от 1 до 12 есть 4 числа, которые делятся на 3 с остатком 0, 4 - с остатком 1, 4 - с остатком 2.
Для удобства будем считать, что куб расположен в координатном пространстве, все ребра параллельны одной из трех координатных осей.
Тогда достаточно расположить числа, делящиеся на 3 с остатком 0 на ребрах, параллельных оси X, с остатком 1 - параллельно Y, с остатком 2 - параллельно Z.
В каждой вершине сходятся три ребра, параллельные разным осям. Тогда остаток от деления на 3 суммы чисел для каждой вершины будет равен 0 + 1 + 2 = 3 -> 0, т.е. будет делиться на 3.
Есть такая формула: sin x + cos x = √2*sin(x + pi/4) Доказывается она легко. sin x + cos x = √2*(1/√2*sin x + 1/√2*cos x) = = √2*(sin x*cos(pi/4) + cos x*sin(pi/4)) = √2*sin(x + pi/4) Решаем sin 3x + cos 3x - (sin x + cos x) = 0 √2*sin(3x + pi/4) - √2*sin(x + pi/4) = 0 Делим на √2 sin(3x + pi/4) - sin(x + pi/4) = 0 По формулам приведения: cos(pi/2 + a) = -sin a sin(3x + pi/4) = -cos(pi/2 + 3x + pi/4) = -cos(3x + 3pi/4) -cos(3x + 3pi/4) - sin(x + pi/4) = 0 Меняем знак и делаем замену x + pi/4 = y cos 3y + sin y = 0 По формулам приведения: sin(pi/2 - a) = cos a sin(pi/2 - 3y) + sin y = 0 Есть еще формула: Произведение равно 0, если один из множителей равен 0 1) sin(pi/4 - y) = sin(pi/4 - x - pi/4) = sin(-x) = -sin x = 0 x1 = pi*k 2) sin(pi/4 - 2y) = sin(pi/4 - 2x - pi/2) = -sin(2x + pi/4) = 0 2x + pi/4 = pi*k 2x = -pi/4 + pi*k x2 = -pi/8 + pi/2*k ответ: x1 = pi*k; x2 = -pi/8 + pi/2*k
Среди чисел от 1 до 12 есть 4 числа, которые делятся на 3 с остатком 0, 4 - с остатком 1, 4 - с остатком 2.
Для удобства будем считать, что куб расположен в координатном пространстве, все ребра параллельны одной из трех координатных осей.
Тогда достаточно расположить числа, делящиеся на 3 с остатком 0 на ребрах, параллельных оси X, с остатком 1 - параллельно Y, с остатком 2 - параллельно Z.
В каждой вершине сходятся три ребра, параллельные разным осям. Тогда остаток от деления на 3 суммы чисел для каждой вершины будет равен 0 + 1 + 2 = 3 -> 0, т.е. будет делиться на 3.
Доказывается она легко.
sin x + cos x = √2*(1/√2*sin x + 1/√2*cos x) =
= √2*(sin x*cos(pi/4) + cos x*sin(pi/4)) = √2*sin(x + pi/4)
Решаем
sin 3x + cos 3x - (sin x + cos x) = 0
√2*sin(3x + pi/4) - √2*sin(x + pi/4) = 0
Делим на √2
sin(3x + pi/4) - sin(x + pi/4) = 0
По формулам приведения: cos(pi/2 + a) = -sin a
sin(3x + pi/4) = -cos(pi/2 + 3x + pi/4) = -cos(3x + 3pi/4)
-cos(3x + 3pi/4) - sin(x + pi/4) = 0
Меняем знак и делаем замену x + pi/4 = y
cos 3y + sin y = 0
По формулам приведения: sin(pi/2 - a) = cos a
sin(pi/2 - 3y) + sin y = 0
Есть еще формула:
Произведение равно 0, если один из множителей равен 0
1) sin(pi/4 - y) = sin(pi/4 - x - pi/4) = sin(-x) = -sin x = 0
x1 = pi*k
2) sin(pi/4 - 2y) = sin(pi/4 - 2x - pi/2) = -sin(2x + pi/4) = 0
2x + pi/4 = pi*k
2x = -pi/4 + pi*k
x2 = -pi/8 + pi/2*k
ответ: x1 = pi*k; x2 = -pi/8 + pi/2*k