Хорошо, рассмотрим уравнение ax^2 - 4x + a + 3 = 0 и найдём условия, при которых оно имеет более одного корня.
Для начала, вспомним основные понятия в теории квадратных уравнений. Квадратное уравнение общего вида имеет вид ax^2 + bx + c = 0, где a, b и c - это числа, причём a ≠ 0.
Чтобы узнать, сколько корней имеет это уравнение, мы можем воспользоваться дискриминантом, который определяется формулой D = b^2 - 4ac.
Если дискриминант положительный (D > 0), то квадратное уравнение имеет два различных корня. Если дискриминант равен нулю (D = 0), то уравнение имеет один корень (он является двукратным). Если же дискриминант отрицательный (D < 0), уравнение не имеет действительных корней.
Вернёмся к нашему уравнению ax^2 - 4x + a + 3 = 0. Теперь мы видим, что коэффициент при x^2 равен а, коэффициент при x равен -4, а свободный член равен a + 3.
Применяя формулу дискриминанта D = b^2 - 4ac к нашему уравнению, получаем:
D = (-4)^2 - 4a(a + 3) = 16 - 4a^2 - 12a.
Теперь мы знаем, что у уравнения будут два корня, если D > 0. Значит, нам нужно найти значения a, при которых D будет больше нуля.
Уравнение D > 0 можно решить следующим образом:
16 - 4a^2 - 12a > 0.
Для удобства, можно переписать выражение в более общем виде:
4a^2 + 12a - 16 < 0.
Теперь обратимся к факторизации. Наша цель - определить, при каких значениях a данное неравенство будет выполнено.
Сначала разложим левую часть на множители:
4a^2 + 12a - 16 = (2a - 2)(2a + 8).
Получили два множителя: (2a - 2) и (2a + 8).
Чтобы выражение (2a - 2)(2a + 8) было меньше нуля, один из множителей должен быть отрицательным, а другой - положительным. Давайте рассмотрим два случая:
1. Когда (2a - 2) < 0 и (2a + 8) > 0:
Решаем неравенства:
2a - 2 < 0 и 2a + 8 > 0.
При решении первого неравенства, получаем a < 1.
При решении второго неравенства, получаем a > -4.
Теперь осталось найти пересечение этих двух интервалов, чтобы найти значения a, удовлетворяющие неравенству.
Из первого неравенства мы знаем, что a < 1.
Из второго неравенства мы знаем, что a > -4.
Исключая значения, которые меньше -4 или больше 1, получаем:
-4 < a < 1.
Таким образом, при значениях a из интервала (-4, 1) наше квадратное уравнение будет иметь более одного корня.
2. Когда (2a - 2) > 0 и (2a + 8) < 0:
Решаем неравенства:
2a - 2 > 0 и 2a + 8 < 0.
При решении первого неравенства, получаем a > 1.
При решении второго неравенства, получаем a < -4.
Аналогично первому случаю исключим значения, которые больше 1 или меньше -4 и найдём пересечение интервалов:
-4 < a < 1.
Таким образом, при значениях a из интервала (-4, 1) наше квадратное уравнение будет иметь более одного корня.
Итак, при значениях a из интервала (-4, 1) уравнение ax^2 - 4x + a + 3 = 0 будет иметь более одного корня.
Для начала, вспомним основные понятия в теории квадратных уравнений. Квадратное уравнение общего вида имеет вид ax^2 + bx + c = 0, где a, b и c - это числа, причём a ≠ 0.
Чтобы узнать, сколько корней имеет это уравнение, мы можем воспользоваться дискриминантом, который определяется формулой D = b^2 - 4ac.
Если дискриминант положительный (D > 0), то квадратное уравнение имеет два различных корня. Если дискриминант равен нулю (D = 0), то уравнение имеет один корень (он является двукратным). Если же дискриминант отрицательный (D < 0), уравнение не имеет действительных корней.
Вернёмся к нашему уравнению ax^2 - 4x + a + 3 = 0. Теперь мы видим, что коэффициент при x^2 равен а, коэффициент при x равен -4, а свободный член равен a + 3.
Применяя формулу дискриминанта D = b^2 - 4ac к нашему уравнению, получаем:
D = (-4)^2 - 4a(a + 3) = 16 - 4a^2 - 12a.
Теперь мы знаем, что у уравнения будут два корня, если D > 0. Значит, нам нужно найти значения a, при которых D будет больше нуля.
Уравнение D > 0 можно решить следующим образом:
16 - 4a^2 - 12a > 0.
Для удобства, можно переписать выражение в более общем виде:
4a^2 + 12a - 16 < 0.
Теперь обратимся к факторизации. Наша цель - определить, при каких значениях a данное неравенство будет выполнено.
Сначала разложим левую часть на множители:
4a^2 + 12a - 16 = (2a - 2)(2a + 8).
Получили два множителя: (2a - 2) и (2a + 8).
Чтобы выражение (2a - 2)(2a + 8) было меньше нуля, один из множителей должен быть отрицательным, а другой - положительным. Давайте рассмотрим два случая:
1. Когда (2a - 2) < 0 и (2a + 8) > 0:
Решаем неравенства:
2a - 2 < 0 и 2a + 8 > 0.
При решении первого неравенства, получаем a < 1.
При решении второго неравенства, получаем a > -4.
Теперь осталось найти пересечение этих двух интервалов, чтобы найти значения a, удовлетворяющие неравенству.
Из первого неравенства мы знаем, что a < 1.
Из второго неравенства мы знаем, что a > -4.
Исключая значения, которые меньше -4 или больше 1, получаем:
-4 < a < 1.
Таким образом, при значениях a из интервала (-4, 1) наше квадратное уравнение будет иметь более одного корня.
2. Когда (2a - 2) > 0 и (2a + 8) < 0:
Решаем неравенства:
2a - 2 > 0 и 2a + 8 < 0.
При решении первого неравенства, получаем a > 1.
При решении второго неравенства, получаем a < -4.
Аналогично первому случаю исключим значения, которые больше 1 или меньше -4 и найдём пересечение интервалов:
-4 < a < 1.
Таким образом, при значениях a из интервала (-4, 1) наше квадратное уравнение будет иметь более одного корня.
Итак, при значениях a из интервала (-4, 1) уравнение ax^2 - 4x + a + 3 = 0 будет иметь более одного корня.