Найти ОДЗ и точки разрыва функции. Найти точки пересечения графика функции с осями координат. Провести исследование функции с первой производной, то есть найти точки экстремума функции и интервалы возрастания и убывания. Исследовать функцию с производной второго порядка, то есть найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Найти асимптоты графика функции: а) вертикальные, b) наклонные. На основании проведенного исследования построить график функции.
1. Здесь функция ограничений не имеет, точек разрыва тоже не имеет, т.е. существует для всех действительных х. Область определения функции: D(f) = R
2. Точки пересечения с осями координат.
2.1. Точки пересечения с осью абсцисс
Чтобы найти точки пересечения с осью Ох, нужно принять y=0:
2.2. Точки пересечения с осью ординат.
Здесь нужно принять x=0 и подставив в функцию, получим y=2
3. Найдем производную функции
Приравниваем производную функции к нулю
___-____(-1)____+___(1)_____-__
Функция возрастает на промежутке (-1;1), а убывает - (-∞;-1) и (1;+∞). В точке х=-1 производная функции меняет знак с (-) на (+), следовательно, точка х=-1 имеет локальный минимум, а в точке x=1 производная функции меняет с (+) на (-), имеем локальный максимум в точке х=1.
Найдем теперь вторую производную
(0;2) - точка перегиба
Вертикальной асимптоты нет.
Поскольку предел f(x) и f(x)/x при х равен , то горизонтальной и наклонной асимптот нет.
(x-2)²=8:2 (x-5)²=6:3 (x-10)²=4/5:2/5
x²-4x+4=4 x²-10x+25=2 x²-20x+100=2
x²-4x+4-4=0 x²-10x+25-2=0 x²-20x+100-2=0
x²-4x=0 x²-10x+23=0 x²-20x+98=0
x(x-4)=0 D=(-10)²-4*23=100-92=8 D=(-20)²-4*98=400-392=8
x=0 x-4=0 x=(10-√8)/2=5-(√8/2) x=(20-√8)/2=10-(√8/2)
x=4 x=(10+√8)/2=5+(√8/2) x=(20+√8)/2=10+(√8/2)
Общая схема исследования функции:
Найти ОДЗ и точки разрыва функции. Найти точки пересечения графика функции с осями координат. Провести исследование функции с первой производной, то есть найти точки экстремума функции и интервалы возрастания и убывания. Исследовать функцию с производной второго порядка, то есть найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Найти асимптоты графика функции: а) вертикальные, b) наклонные. На основании проведенного исследования построить график функции.1. Здесь функция ограничений не имеет, точек разрыва тоже не имеет, т.е. существует для всех действительных х. Область определения функции: D(f) = R
2. Точки пересечения с осями координат.
2.1. Точки пересечения с осью абсцисс
Чтобы найти точки пересечения с осью Ох, нужно принять y=0:
2.2. Точки пересечения с осью ординат.
Здесь нужно принять x=0 и подставив в функцию, получим y=2
3. Найдем производную функции
Приравниваем производную функции к нулю
___-____(-1)____+___(1)_____-__
Функция возрастает на промежутке (-1;1), а убывает - (-∞;-1) и (1;+∞). В точке х=-1 производная функции меняет знак с (-) на (+), следовательно, точка х=-1 имеет локальный минимум, а в точке x=1 производная функции меняет с (+) на (-), имеем локальный максимум в точке х=1.
Найдем теперь вторую производную
(0;2) - точка перегиба
Вертикальной асимптоты нет.
Поскольку предел f(x) и f(x)/x при х
равен 
, то горизонтальной и наклонной асимптот нет.