Пусть функция возрастает на всей области определения.
Предположим, что для некоторых значений аргумента и выполняется соотношение . Рассмотрим три ситуации:
1. - но по определению возрастающей функции меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции: - противоречие вышеприведенному равенству значений функции
2. - две точки равны между собой, значит и значения функции в них также равны, вышеприведенное равенство выполняется
3. - аналогично, по определению возрастающей функции большему значению аргумента соответствует большее значение функции: - противоречие вышеприведенному равенству значений функции
Таким образом, при любых не может выполняться равенство . Это означает, что возрастающая функция не может принимать одно и то же значение в двух различных точках. Или по другому, возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке.
Для убывающей функции доказательство аналогичное с той лишь разницей, что случаю соответствует условие , а случаю - условие . Но опять же, разным значениям аргумента не могут соответствовать равные значения функции.
Пусть рабочий изготовлена Х деталей в день. Тогда он их должен был изготовить за 360/Х дней.
Реально он делал х+20 деталей в день и по условию это заняло на 1,5 дня меньше
\begin{gathered}\frac{360}{x} - \frac{360}{x+20} =1,5 \\ \frac{360(x+20)-360x}{x(x+20)} =1,5 \\ \frac{360x+ 7200 - 360x}{x(x+20)} =1,5 \\ 7200=1,5x (x+20) \\ x^{2} +20x-4800=0 \\\end{gathered}
x
360
−
x+20
360
=1,5
x(x+20)
360(x+20)−360x
=1,5
x(x+20)
360x+7200−360x
=1,5
7200=1,5x(x+20)
x
2
+20x−4800=0
По теореме Винта
х1=-80
Х2=60
ответ: 60.
Пусть функция
возрастает на всей области определения.
Предположим, что для некоторых значений аргумента
и 
выполняется соотношение 
. Рассмотрим три ситуации:
1.
- но по определению возрастающей функции меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции: 
- противоречие вышеприведенному равенству значений функции
2.
- две точки равны между собой, значит и значения функции в них также равны, вышеприведенное равенство выполняется
3.
- аналогично, по определению возрастающей функции большему значению аргумента соответствует большее значение функции: 
- противоречие вышеприведенному равенству значений функции
Таким образом, при любых
не может выполняться равенство 
. Это означает, что возрастающая функция не может принимать одно и то же значение в двух различных точках. Или по другому, возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке.
Для убывающей функции доказательство аналогичное с той лишь разницей, что случаю
соответствует условие 
, а случаю 
- условие 
. Но опять же, разным значениям аргумента не могут соответствовать равные значения функции.