При каком значении n ,(n-натур-е число),значение выражений n^2 , 2n+3 , 3n+4 , n^2+n+7 будут последовательными членами арифметической прогрессии .найти эти члены .​.

Найдем разность d арифметической прогрессии и получим уравнение:

 не удовлетворяет условию, т.к. n-натур-е число

ответ: n=2.

Для того чтобы значения выражений n^2, 2n+3, 3n+4 и n^2+n+7 были последовательными членами арифметической прогрессии, необходимо, чтобы разность между соседними членами была одинаковой.

То есть, разность между 2n+3 и n^2 должна быть равна разности между 3n+4 и 2n+3, и также это должно быть равно разности между n^2+n+7 и 3n+4.

Вычислим каждую из этих разностей по очереди.

1. Разность между 2n+3 и n^2:
(2n+3) - (n^2) = 2n + 3 - n^2.

2. Разность между 3n+4 и 2n+3:
(3n+4) - (2n+3) = 3n + 4 - 2n - 3.

3. Разность между n^2+n+7 и 3n+4:
(n^2+n+7) - (3n+4) = n^2 + n + 7 - 3n - 4.

Теперь приведем эти разности к одному и тому же виду и приравняем их:

3. (n^2 + n + 7) - (3n + 4) = (2n + 3) - (n^2)
n^2 + n + 7 - 3n - 4 = 2n + 3 - n^2
n^2 + n + 7 - 3n - 4 - 2n - 3 + n^2 = 0
n^2 + n^2 + n - 3n - 2n + 7 - 4 - 3 = 0
2n^2 - 4n = 0
2n(n - 2) = 0.

Получили квадратное уравнение, которое можно решить с помощью факторизации:
2n(n - 2) = 0.

Для этого уравнения существует два возможных ответа: n = 0 и n = 2.

Для того чтобы проверить, что значения n^2, 2n+3, 3n+4 и n^2+n+7 будут последовательными членами арифметической прогрессии при этих значениях n, подставим их в выражения:

1. При n = 0:
n^2 = 0^2 = 0,
2n + 3 = 2(0) + 3 = 3,
3n + 4 = 3(0) + 4 = 4,
n^2 + n + 7 = 0^2 + 0 + 7 = 7.

2. При n = 2:
n^2 = 2^2 = 4,
2n + 3 = 2(2) + 3 = 7,
3n + 4 = 3(2) + 4 = 10,
n^2 + n + 7 = 2^2 + 2 + 7 = 13.

Таким образом, при n = 0 значения выражений не являются последовательными членами арифметической прогрессии, а при n = 2 значения выражений являются последовательными членами арифметической прогрессии:

n^2 = 4,
2n + 3 = 7,
3n + 4 = 10,
n^2 + n + 7 = 13.