При яких значеннях параметра а рівняння (x-3)(√x-a)=0 має два корені?

Показать ответ

Ответ:

repkinvasya

05.05.2022 07:53

(см. объяснение)

Объяснение:

В своем ответе я приведу два допустимых решения.

Рассмотрим уравнение x^2-3.75x+a=0 .

Пусть y - один из его корней.

Тогда по условию y^2 - второй корень уравнения.

Итого имеем систему:

$\begin{equation*} \begin{cases} y^2-3.75y+a=0\\y^4-3.75y^2+a=0 \end{cases}\end{equation*};$

Решив ее, получим, что $a=0,\;a=\dfrac{11}{4},\;a=\dfrac{27}{8},\;a=-\dfrac{125}{8}$ .

Проверим теперь каждое значение параметра и выберем те, при которых выполняется решение задачи.

(здесь надо решить 4 уравнения при всех найденных значениях параметра; я этого делать не буду, так как эти действия долгие, но очевидные)

Итого получили, что при $a=\dfrac{27}{8}$ и $a=-\dfrac{125}{8}$ один из корней уравнения x^2-3.75x+a=0 является квадратом другого.

$x^2-3.75x+a=0\\\\x^2-\dfrac{15}{4}x+a=0$

Решим это уравнение через дискриминант:

$D=\dfrac{225}{16}-4a\\\sqrt{D}=\sqrt{\dfrac{225}{16}-4a}$

Выразим корни уравнения:

$x_1=\dfrac{\dfrac{15}{4}+\sqrt{\dfrac{225}{16}-4a}}{2}\\\\x_2=\dfrac{\dfrac{15}{4}-\sqrt{\dfrac{225}{16}-4a}}{2}$

По условию один из корней должен являться квадратом другого.

Тогда возможны два случая:

x_1=x_2^2 /или/ x_1^2=x_2

Но второй не будет иметь корней, так как x_1^2x_2 .

Запишем единственное уравнение и найдем искомые значения параметра:

$\dfrac{\dfrac{15}{4}+\sqrt{\dfrac{225}{16}-4a}}{2}=\left(\dfrac{\dfrac{15}{4}-\sqrt{\dfrac{225}{16}-4a}}{2}\right)^2\\\dfrac{15}{8}+\dfrac{\sqrt{\dfrac{225}{16}-4a}}{2}=\left(\dfrac{15}{8}-\dfrac{\sqrt{\dfrac{225}{16}-4a}}{2}\right)^2$

Меняем $\dfrac{\sqrt{\dfrac{225}{16}-4a}}{2}$ на :

$\dfrac{15}{8}+t=\left(\dfrac{15}{8}-t\right)^2$

Откуда $t=\dfrac{3}{8}$ или $t=\dfrac{35}{8}$ .

Обратная замена:

$\dfrac{\sqrt{\dfrac{225}{16}-4a}}{2}=\dfrac{3}{8}$

$a=\dfrac{27}{8}$

Или:

$\dfrac{\sqrt{\dfrac{225}{16}-4a}}{2}=\dfrac{35}{8}$

$a=-\dfrac{125}{8}$

Итого имеем, что при $a=\dfrac{27}{8}$ и $a=-\dfrac{125}{8}$ один из корней уравнения x^2-3.75x+a=0 является квадратом другого.

Задание выполнено!

0,0(0 оценок)

Ответ:

yakubchik2004

19.02.2022 07:53

Задача из раздела "Многочлены", так что думать стоит в эту сторону. Может, среди данных выражений есть какая-то закономерность?

Действительно, можно заметить, что a всегда умножается на число, которое является квадратом числа, на которое умножается b (100 = 10², 36 = 6², 4 = 2²). Значит, все левые части образованы по принципу ax² + bx + c, то есть это квадратные трёхчлены.

Получается, нам даны значения этого трёхчлена в трёх различных точках. По трём точкам всегда можно однозначно определить его коэффициенты, то есть числа a, b, c.

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра