Все задания сводятся к решению квадратных неравенств. Если у неравенства коэф-т при x^2<0, то можно умножить обе части на (-1). Общий вид квадратного трехчлена ax^2+bx+c. Для решения неравенства ax^2+bx+c>=(<)0 можно применять графический Решая квадратное уравнение находим точки пересечения параболы с осью OX. Если a>0, то ветви направлены вверх x1 и x2 - корни уравнения, причем x1<x2 ax^2+bx+c>0, если x∈(-∞;x1)∨(x2;+∞) ax^2+bx+c<0, если x∈(x1;x2) 1.3x^2-2x-4=0⇒x=(1+(-)√1+3*4)/3⇒x1=(1-√13)/3; x2=(1+√13)/3; x1>x2 3x^2-2x-4>0, если x∈(-∞;(1-√13)/3)∨((1+√13)/3;+∞) Оценим значения корней 3<√13<4⇒4<1+√13<5⇒4/3<(1+√13)/3<5/3⇒ 4; 6 и 2006 принадлежат интервалу ((1+√13)/3;+∞) -4<-√13<-3⇒-3<1-√13<-2⇒-1<(1-√13)/3<-2/3⇒ -3; -2 принадлежат интервалу ((-∞;1-√13)/3) Решениями неравенства не являются 0 и 1 2. (a^2-16)/(2a^2-3a+3)>0⇒(a^2-16)*(2a^2-3a+3)>0 и 2a^2-3a+3≠0 Найдем ОДЗ: 2a^2-3a+3=0; D=b^2-4ac=3^2-2*3*4=9-24<0⇒ 2a^2-3a+3>0 для всех a. Значит и (a^2-16)>0⇒(a-4)(a+4)>0 a1=-4; a2=4 - корни уравнения (a-4)(a+4)=0⇒ a∈(-∞;4)∨(4;+∞) 3. y=√2x/(6-x) ОДЗ: 2x/(6-x)>=0⇒x*(6-x)>=0 и (6-x)≠0; x≠6 x1=0; x2=6 - корни уравнения x*(6-x)=0 ⇒ x∈(-∞;0]∨(6;+∞) 4. .I3x2-4x-4I=4+4x-3x2⇒I3x^2-4x-4I=-(3x^2-4x-4)⇒по определению модуля Нужно решить неравенство 3x^2-4x-4<0 3x^2-4x-4=0⇒x=(2+(-)√4+4*3)/3⇒x1=(2-4)/3=-2/3; x2=(2+4)/3=2⇒ x∈(-2/3;2) Во всех этих случаях хорошо сделать эскиз параболы, Для этого на оси x отметить корни уравнения и знать направление ветвей. Неравенство >0 для тех значений x, где ветви параболы выше оси x. Неравенство<0 для тех значений x, где ветви параболы ниже оси x.
1)выражение под корнем должно быть больше или равно нулю(x - 3)(8 - 2x) ≥ 0(x - 3)(x - 4) = 0⇒ x ∈ [3;4]2) (14x + 7)(4 - 10x) ≥ 0⇒ x ∈ [-1/2;2/10] 3) (0.1x + 1)(6 - 2x) ≥ 0(x + 10)(3 - x) ≤ 0⇒ x ∈ [-10;3]4) (8 - 16x)(x - 9)x ≥ 0 (x - 0.5)(x - 9)x ≤ 0⇒ x ∈ (-∞;0]∪[1/2;9] (∪ - знак объединения)5) выражение под корнем в знаменателе должно быть больше или равно нулю, а также сам знаменатель не должен быть равен нулю(x - 4)(x - 1)(x - 3)x > 0 ⇒ x ∈ (-∞;0) ∨ (1;3) ∨ (4;+∞)6) (x + 1)(x - 5)(x + 3)x > 0 ⇒ x ∈ (-∞;-3)∪(-1;0)∪(5;+∞)Если естественная область определения - это те значения переменной, при которых выражение имеет смысл.
Общий вид квадратного трехчлена ax^2+bx+c. Для решения неравенства
ax^2+bx+c>=(<)0 можно применять графический
Решая квадратное уравнение находим точки пересечения параболы с осью OX.
Если a>0, то ветви направлены вверх
x1 и x2 - корни уравнения, причем x1<x2
ax^2+bx+c>0, если x∈(-∞;x1)∨(x2;+∞)
ax^2+bx+c<0, если x∈(x1;x2)
1.3x^2-2x-4=0⇒x=(1+(-)√1+3*4)/3⇒x1=(1-√13)/3; x2=(1+√13)/3; x1>x2
3x^2-2x-4>0, если x∈(-∞;(1-√13)/3)∨((1+√13)/3;+∞)
Оценим значения корней
3<√13<4⇒4<1+√13<5⇒4/3<(1+√13)/3<5/3⇒
4; 6 и 2006 принадлежат интервалу ((1+√13)/3;+∞)
-4<-√13<-3⇒-3<1-√13<-2⇒-1<(1-√13)/3<-2/3⇒
-3; -2 принадлежат интервалу ((-∞;1-√13)/3)
Решениями неравенства не являются 0 и 1
2. (a^2-16)/(2a^2-3a+3)>0⇒(a^2-16)*(2a^2-3a+3)>0 и 2a^2-3a+3≠0
Найдем ОДЗ: 2a^2-3a+3=0; D=b^2-4ac=3^2-2*3*4=9-24<0⇒ 2a^2-3a+3>0 для всех a. Значит и (a^2-16)>0⇒(a-4)(a+4)>0
a1=-4; a2=4 - корни уравнения (a-4)(a+4)=0⇒
a∈(-∞;4)∨(4;+∞)
3. y=√2x/(6-x)
ОДЗ: 2x/(6-x)>=0⇒x*(6-x)>=0 и (6-x)≠0; x≠6
x1=0; x2=6 - корни уравнения x*(6-x)=0 ⇒
x∈(-∞;0]∨(6;+∞)
4. .I3x2-4x-4I=4+4x-3x2⇒I3x^2-4x-4I=-(3x^2-4x-4)⇒по определению модуля
Нужно решить неравенство 3x^2-4x-4<0
3x^2-4x-4=0⇒x=(2+(-)√4+4*3)/3⇒x1=(2-4)/3=-2/3; x2=(2+4)/3=2⇒
x∈(-2/3;2)
Во всех этих случаях хорошо сделать эскиз параболы, Для этого на оси x отметить корни уравнения и знать направление ветвей.
Неравенство >0 для тех значений x, где ветви параболы выше оси x.
Неравенство<0 для тех значений x, где ветви параболы ниже оси x.
(14x + 7)(4 - 10x) ≥ 0⇒ x ∈ [-1/2;2/10]
3)
(0.1x + 1)(6 - 2x) ≥ 0(x + 10)(3 - x) ≤ 0⇒ x ∈ [-10;3]4)
(8 - 16x)(x - 9)x ≥ 0
(x - 0.5)(x - 9)x ≤ 0⇒ x ∈ (-∞;0]∪[1/2;9] (∪ - знак объединения)5)
выражение под корнем в знаменателе должно быть больше или равно нулю, а также сам знаменатель не должен быть равен нулю(x - 4)(x - 1)(x - 3)x > 0
⇒ x ∈ (-∞;0) ∨ (1;3) ∨ (4;+∞)6)
(x + 1)(x - 5)(x + 3)x > 0
⇒ x ∈ (-∞;-3)∪(-1;0)∪(5;+∞)Если естественная область определения - это те значения переменной, при которых выражение имеет смысл.