Объяснение:
z = 1/(2x^2) + 1/(2y^2), при условии 1/x^4 + 1/y^4 = 2
Выразим y через x
1/y^4 = 2 - 1/x^4 = (2x^4 - 1)/x^4
1/(2y^2) = √(2x^4 - 1)/(2x^2)
Область определения: x ≠ 0; y ≠ 0; x^4 > 1/2; |x| > 1/(кор. 4 ст. из 2) ≈ 0,84
В функцию z входит 1/(2y^2), поэтому я так и написал.
z = 1/(2x^2) + 1/(2y^2) = 1/(2x^2) + √(2x^4 - 1)/(2x^2) = (√(2x^4 - 1) + 1) / (2x^2)
Теперь находим производную функции уже одной переменной.
z ' = [8x^3/(2√(2x^4 - 1))*2x^2 - 4x(√(2x^4 - 1) + 1) ] / (4x^4) =
= [2x^4/√(2x^4 - 1) - √(2x^4 - 1) - 1] / x^3
В точке экстремума производная, то есть ее числитель, равна 0.
2x^4/√(2x^4 - 1) - √(2x^4 - 1) - 1 = 0
(2x^4 - (2x^4 - 1)) / √(2x^4 - 1) = 1
1/√(2x^4 - 1) = 1
√(2x^4 - 1) = 1
2x^4 - 1 = 1
2x^4 = 2
x^4 = 1
x1 = -1; x2 = 1;
y^4 = x^4/(2x^4 - 1) = 1/(2-1) = 1; y1 = -1; y2 = 1.
z = 1/(2x^2) + 1/(2y^2) = 1/(2*1) + 1/(2*1) = 1
Критические точки: (-1; -1; 1); (-1; 1; 1); (1; -1; 1); (1; 1; 1).
При x = -2 < -1 будет
z ' = (2*16/√15 - √15 - 1) / (-8) ≈ 3,4/(-8) < 0
Функция падает.
При x = -0,9 € (-1; -1/(кор. 4 ст из 2) ) будет
z ' = (2*0,9^4/√(2*0,9^4-1) - √(2*0,9^4-1) - 1) / (-0,9)^3 =
= (1,3122/√0,3122 - √0,3122 - 1) / (-0,729) ≈ 0,8/(-0,73) < 0
При x < -1 функция падает и при x > -1 функция тоже падает.
Значит, x = -1 - это критическая точка, но не экстремум.
Тоже самое с x = 1.
При x € (1/кор. 4 ст из 2); 1) функция растет, и при x > 1 функция тоже растет.
Поэтому у этой функции экстремумов нет.
Не может
Всего единичных кубиков: p^3.
Из них кубиков, у которых не окрашено ни одной грани: (p-2)^3.
Это куб с ребром (p-2), который находится целиком внутри большого.
Посчитаем окрашенные кубики:
1) На вершинах 8 кубиков, у которых окрашено 3 грани.
2) На 12 ребрах 12(p-2) кубиков, у которых окрашено 2 грани.
3) На 6 гранях куба 6(p-2)^2 кубиков, у которых окрашена 1 грань.
И это количество должно быть равно неокрашенным кубикам.
(p-2)^3 = 6(p-2)^2 + 12(p-2) + 8
(p-2)^3 - 6(p-2)^2 - 12(p-2) - 8 = 0
Замена p-2 = t
t^3 - 6t^2 - 12t - 8 = 0
Так как t должно быть натуральным, то оно является делителем 8.
Пробуем 2, 4 и 8:
2^3 - 6*2^2 - 12*2 - 8 = 8 - 6*4 - 24 - 8 = -48
4^3 - 6*4^2 - 12*4 - 8 = 64 - 6*16 - 48 - 8 = -88
8^3 - 6*8^2 - 12*8 - 8 = 512 - 6*64 - 96 - 8 = 512 - 384 - 104 = 24
Ни одно из целых значений не подходит, значит, так сделать нельзя.
Попробуем на всякий случай 7:
7^3 - 6*7^2 - 12*7 - 8 = 343 - 6*49 - 84 - 8 = 343 - 294 - 92 = -43
t ∈ (7, 8), и оно иррациональное.
Объяснение:
z = 1/(2x^2) + 1/(2y^2), при условии 1/x^4 + 1/y^4 = 2
Выразим y через x
1/y^4 = 2 - 1/x^4 = (2x^4 - 1)/x^4
1/(2y^2) = √(2x^4 - 1)/(2x^2)
Область определения: x ≠ 0; y ≠ 0; x^4 > 1/2; |x| > 1/(кор. 4 ст. из 2) ≈ 0,84
В функцию z входит 1/(2y^2), поэтому я так и написал.
z = 1/(2x^2) + 1/(2y^2) = 1/(2x^2) + √(2x^4 - 1)/(2x^2) = (√(2x^4 - 1) + 1) / (2x^2)
Теперь находим производную функции уже одной переменной.
z ' = [8x^3/(2√(2x^4 - 1))*2x^2 - 4x(√(2x^4 - 1) + 1) ] / (4x^4) =
= [2x^4/√(2x^4 - 1) - √(2x^4 - 1) - 1] / x^3
В точке экстремума производная, то есть ее числитель, равна 0.
2x^4/√(2x^4 - 1) - √(2x^4 - 1) - 1 = 0
(2x^4 - (2x^4 - 1)) / √(2x^4 - 1) = 1
1/√(2x^4 - 1) = 1
√(2x^4 - 1) = 1
2x^4 - 1 = 1
2x^4 = 2
x^4 = 1
x1 = -1; x2 = 1;
y^4 = x^4/(2x^4 - 1) = 1/(2-1) = 1; y1 = -1; y2 = 1.
z = 1/(2x^2) + 1/(2y^2) = 1/(2*1) + 1/(2*1) = 1
Критические точки: (-1; -1; 1); (-1; 1; 1); (1; -1; 1); (1; 1; 1).
При x = -2 < -1 будет
z ' = (2*16/√15 - √15 - 1) / (-8) ≈ 3,4/(-8) < 0
Функция падает.
При x = -0,9 € (-1; -1/(кор. 4 ст из 2) ) будет
z ' = (2*0,9^4/√(2*0,9^4-1) - √(2*0,9^4-1) - 1) / (-0,9)^3 =
= (1,3122/√0,3122 - √0,3122 - 1) / (-0,729) ≈ 0,8/(-0,73) < 0
Функция падает.
При x < -1 функция падает и при x > -1 функция тоже падает.
Значит, x = -1 - это критическая точка, но не экстремум.
Тоже самое с x = 1.
При x € (1/кор. 4 ст из 2); 1) функция растет, и при x > 1 функция тоже растет.
Поэтому у этой функции экстремумов нет.
Не может
Объяснение:
Всего единичных кубиков: p^3.
Из них кубиков, у которых не окрашено ни одной грани: (p-2)^3.
Это куб с ребром (p-2), который находится целиком внутри большого.
Посчитаем окрашенные кубики:
1) На вершинах 8 кубиков, у которых окрашено 3 грани.
2) На 12 ребрах 12(p-2) кубиков, у которых окрашено 2 грани.
3) На 6 гранях куба 6(p-2)^2 кубиков, у которых окрашена 1 грань.
И это количество должно быть равно неокрашенным кубикам.
(p-2)^3 = 6(p-2)^2 + 12(p-2) + 8
(p-2)^3 - 6(p-2)^2 - 12(p-2) - 8 = 0
Замена p-2 = t
t^3 - 6t^2 - 12t - 8 = 0
Так как t должно быть натуральным, то оно является делителем 8.
Пробуем 2, 4 и 8:
2^3 - 6*2^2 - 12*2 - 8 = 8 - 6*4 - 24 - 8 = -48
4^3 - 6*4^2 - 12*4 - 8 = 64 - 6*16 - 48 - 8 = -88
8^3 - 6*8^2 - 12*8 - 8 = 512 - 6*64 - 96 - 8 = 512 - 384 - 104 = 24
Ни одно из целых значений не подходит, значит, так сделать нельзя.
Попробуем на всякий случай 7:
7^3 - 6*7^2 - 12*7 - 8 = 343 - 6*49 - 84 - 8 = 343 - 294 - 92 = -43
t ∈ (7, 8), и оно иррациональное.