Приведите уравнение 3x^2 - 17x + 35 = x^2 + 45x - 7 к приведённому виду и найдите сумму и произведение его корней, не решая уравнения. Запишите полностью своё решение и ответ.
Шаг 4: Разложение на множители
Найдем множители этого уравнения. Поскольку коэффициент при x^2 равен 2, можно попробовать разложить это уравнение на множители в виде:
(x - a)(2x - b) = 0
где a и b - значения корней, которые мы и пытаемся найти.
Умножим (x - a)(2x - b) и раскроем скобки:
2x^2 - 2ax - bx + ab = 0
Шаг 5: Сравнение коэффициентов
Сравним полученное уравнение с 2x^2 - 124x + 42 = 0, чтобы определить значения a и b.
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях:
2x^2 - 2ax - bx + ab = 2x^2 - 124x + 42
Получим два уравнения:
-2a - b = -124 (уравнение для коэффициента x)
ab = 42 (уравнение для свободного члена)
Шаг 6: Нахождение суммы и произведения корней
Теперь мы можем найти значения a и b, используя систему уравнений. Решим систему уравнений:
-2a - b = -124
ab = 42
Так как нас интересуют лишь сумма и произведение корней, приведем систему к квадратному уравнению:
b = -124 - 2a
a(-124 - 2a) = 42
Разложим последнее уравнение:
-2a^2 - 124a + 42 = 0
Теперь, из этого уравнения, мы можем найти значения a и b. Решив квадратное уравнение, получим два значения a:
a1 ≈ 3.8492
a2 ≈ -10.95
Подставив значения a в изначальное уравнение для b (b = -124 - 2a), получим два значения b:
b1 ≈ -131.6984
b2 ≈ 102.9002
Получили две пары а и b:
a1 ≈ 3.8492, b1 ≈ -131.6984
a2 ≈ -10.95, b2 ≈ 102.9002
Шаг 7: Запись приведенного вида и ответ
Теперь, зная значения a и b, можем записать уравнение в приведенном виде.
У нас есть две пары корней:
(x - a1)(2x - b1) = 0
(x - a2)(2x - b2) = 0
Итак, приведенный вид этого уравнения будет:
(x - 3.8492)(2x + 131.6984) = 0
(x + 10.95)(2x - 102.9002) = 0
Ответ: Приведенное уравнение имеет две пары корней:
Корни a1 ≈ 3.8492, b1 ≈ -131.6984 и a2 ≈ -10.95, b2 ≈ 102.9002.
Шаг 1: Приведение уравнения к общему виду
Имеем:
3x^2 - 17x + 35 = x^2 + 45x - 7
Для начала вычтем x^2 и добавим 17x к обеим сторонам уравнения:
2x^2 - 62x + 35 = -7 + 62x
Шаг 2: Перегруппируем слагаемые
Теперь объединим все x-термы в одну сторону и все константы - в другую. Получим:
2x^2 - 62x - 62x + 42 = 0
Шаг 3: Упрощение
Дальше проведем упрощение уравнения:
2x^2 - 124x + 42 = 0
Шаг 4: Разложение на множители
Найдем множители этого уравнения. Поскольку коэффициент при x^2 равен 2, можно попробовать разложить это уравнение на множители в виде:
(x - a)(2x - b) = 0
где a и b - значения корней, которые мы и пытаемся найти.
Умножим (x - a)(2x - b) и раскроем скобки:
2x^2 - 2ax - bx + ab = 0
Шаг 5: Сравнение коэффициентов
Сравним полученное уравнение с 2x^2 - 124x + 42 = 0, чтобы определить значения a и b.
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях:
2x^2 - 2ax - bx + ab = 2x^2 - 124x + 42
Получим два уравнения:
-2a - b = -124 (уравнение для коэффициента x)
ab = 42 (уравнение для свободного члена)
Шаг 6: Нахождение суммы и произведения корней
Теперь мы можем найти значения a и b, используя систему уравнений. Решим систему уравнений:
-2a - b = -124
ab = 42
Так как нас интересуют лишь сумма и произведение корней, приведем систему к квадратному уравнению:
b = -124 - 2a
a(-124 - 2a) = 42
Разложим последнее уравнение:
-2a^2 - 124a + 42 = 0
Теперь, из этого уравнения, мы можем найти значения a и b. Решив квадратное уравнение, получим два значения a:
a1 ≈ 3.8492
a2 ≈ -10.95
Подставив значения a в изначальное уравнение для b (b = -124 - 2a), получим два значения b:
b1 ≈ -131.6984
b2 ≈ 102.9002
Получили две пары а и b:
a1 ≈ 3.8492, b1 ≈ -131.6984
a2 ≈ -10.95, b2 ≈ 102.9002
Шаг 7: Запись приведенного вида и ответ
Теперь, зная значения a и b, можем записать уравнение в приведенном виде.
У нас есть две пары корней:
(x - a1)(2x - b1) = 0
(x - a2)(2x - b2) = 0
Итак, приведенный вид этого уравнения будет:
(x - 3.8492)(2x + 131.6984) = 0
(x + 10.95)(2x - 102.9002) = 0
Ответ: Приведенное уравнение имеет две пары корней:
Корни a1 ≈ 3.8492, b1 ≈ -131.6984 и a2 ≈ -10.95, b2 ≈ 102.9002.