Про многочлен Р(х) четвертой степени известно, что для любого вещественного и выполнено Р(х) > 0, а также Р(1) = 0, Р(2) =8, P(4) = 0. Найдите Р(5).

P(5) = 32

Объяснение:

Многочлен 4 степени записывается так:

P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e

В условии нам даны значения:

P(1) = a*1^4 + b*1^3 + c*1^2 + d*1 + e = a + b + c + d + e = 0

P(2) = a*2^4 + b*2^3 + c*2^2 + d*2 + e = 16a + 8b + 4c + 2d + e = 8

P(4) = a*4^4 + b*4^3 + c*4^2 + d*4 + e = 256a + 64b + 16c + 4d + e = 0

Кроме того, нам известно, что этот многочлен при любом x принимает значения P(x) >= 0.

Это значит, что в точках x = 1 и x = 4 он имеет минимумы, равные 0.

Берем производную P'(x):

P'(x) = 4x^3 + 3bx^2 + 2cx + d

Мы знаем, что она равна 0 при x = 1 и при x = 4:

P'(1) = 4a*1^3 + 3b*1^2 + 2c*1 + d = 4a + 3b + 2c + d = 0

P'(4) = 4a*4^3 + 3b*4^2 + 2c*4 + d = 256a + 48b + 8c + d = 0

Получили систему 5 линейных уравнений с 5 неизвестными.

{ a + b + c + d + e = 0  (1)

{ 16a + 8b + 4c + 2d + e = 8  (2)

{ 256a + 64b + 16c + 4d + e = 0  (3)

{ 4a + 3b + 2c + d = 0  (4)

{ 256a + 48b + 8c + d = 0  (5)

Умножаем (1) на -16 и складываем с (2).

Умножаем (1) на -256 и складываем с (3).

Умножаем (1) на -4 и складываем с (4).

Умножаем (1) на -256 и складываем с (5).

{ a + b + c + d + e = 0  (1)

{ 0a - 8b - 12c - 14d - 15e = 8  (2)

{ 0a - 192b - 240c - 252d - 255e = 0  (3)

{ 0a - b - 2c - 3d - 4e = 0  (4)

{ 0a - 208b - 248c - 255d - 256e = 0  (5)

Теперь (4) делим на -1, а (3) делим на 3.

И перепишем уравнения немного в другом порядке:

{ a + b + c + d + e = 0  (1)

{ 0a + b + 2c + 3d + 4e = 0  (4)

{ 0a - 8b - 12c - 14d - 15e = 8  (2)

{ 0a - 64b - 80c - 84d - 85e = 0  (3)

{ 0a - 208b - 248c - 255d - 256e = 0  (5)

Умножаем (4) на 8 и складываем с (2).

Умножаем (4) на 64 и складываем с (3).

Умножаем (4) на 208 и складываем с (5).

{ a + b + c + d + e = 0  (1)

{ 0a + b + 2c + 3d + 4e = 0  (4)

{ 0a + 0b + 4c + 10d + 17e = 8  (2)

{ 0a + 0b + 48c + 108d + 171e = 0  (3)

{ 0a + 0b + 168c + 369d + 576e = 0  (5)

Делим (5) на 3:

{ a + b + c + d + e = 0  (1)

{ 0a + b + 2c + 3d + 4e = 0  (4)

{ 0a + 0b + 4c + 10d + 17e = 8  (2)

{ 0a + 0b + 48c + 108d + 171e = 0  (3)

{ 0a + 0b + 56c + 123d + 192e = 0  (5)

Умножаем (2) на -12, а (3) оставляем, как есть:

{ 0a + 0b - 48c - 120d - 204e = -96

{ 0a + 0b + 48c + 108d + 171e = 0

И складываем эти уравнения:

0a + 0b + 0c - 12d - 33e = -96  (3)

Умножаем (2) на -14, а (5) оставляем, как есть:

{ 0a + 0b - 56c - 140d - 238e = -112  (2)

{ 0a + 0b + 56c + 123d + 192e = 0  (5)

И складываем эти уравнения:

0a + 0b + 0c - 17d - 46e = -112  (5)

Собираем все уравнения обратно в систему и перенумеруем их:

{ a + b + c + d + e = 0   (1)

{ 0a + b + 2c + 3d + 4e = 0  (2)

{ 0a + 0b + 4c + 10d + 17e = 3  (3)

{ 0a + 0b + 0c - 12d - 33e = -96  (4)

{ 0a + 0b + 0c - 17d - 46e = -112  (5)

Последний шаг. Умножаем (4) на -17, а (5) умножаем на 12:

{ a + b + c + d + e = 0  (1)

{ 0a + b + 2c + 3d + 4e = 0  (2)

{ 0a + 0b + 4c + 10d + 17e = 3  (3)

{ 0a + 0b + 0c + 204d + 561e = 1632  (4)

{ 0a + 0b + 0c - 204d - 552e = -1344  (5)

И складываем (4) и (5):

9e = 288

e = 288 : 9 = 32

Подставляем в (4):

0a + 0b + 0c - 12d - 33*32 = -96  (4)

-12d = 33*32 - 96 = 960

d = -960/12 = -80

Подставляем в (3):

0a + 0b + 4c + 10(-80) + 17*32 = 8  (3)

4с = 80*10 - 17*32 + 8 = 800 - 544 + 8 = 264

c = 264/4 = 66

Подставляем в (2):

0a + b + 2*66 + 3(-80) + 4*32 = 0  (2)

b = -132 + 240 - 128 = -20

Подставляем в (1):

a - 20 + 66 - 80 + 32 = 0  (1)

a = 20 - 66 + 80 - 32 = 2

Итак, мы получили коэффициенты этого многочлена:

P(x) = 2x^4 - 20x^3 + 66x^2 - 80x + 32

И, наконец-то, находим P(5):

P(5) = 2*5^4 - 20*5^3 + 66*5^2 - 80*5 + 32 =

= 2*625 - 20*125 + 66*25 - 400 + 32 =

= 1250 - 2500 + 1650 - 400 + 32 = 32

График этого многочлена на рисунке.