Проверьте что знаменатель q данной геометрической прогрессии удовлетворяет условию модуль q < 1, и найдите сумму этой прогрессии a) 9; 3; 1; ...; b) 2; -1/2; 1/8; ...; Объясните каждый шаг и что откуда
Хорошо, давайте рассмотрим каждую часть вопроса по очереди:
a) Проверка условия модуля q < 1 для геометрической прогрессии 9, 3, 1, ...
Первым шагом в решении данной задачи будет найти знаменатель q геометрической прогрессии. Для этого можно использовать формулу для n-го члена геометрической прогрессии: an = a1 * q^(n-1), где an - n-й член, a1 - первый член, q - знаменатель прогрессии.
Подставим известные значения в данную формулу:
1 = 9 * q^(3-1)
Для того чтобы продолжить решение, нам нужно найти значение q. Для этого разделим обе части равенства на 9:
1/9 = q^2
Чтобы найти значение q, извлечем квадратный корень из обеих частей равенства:
sqrt(1/9) = sqrt(q^2)
Так как модуль q не может быть отрицательным (в соответствии с условием вопроса), мы знаем, что q > 0. Поэтому получаем:
1/3 = q
Теперь у нас есть значение знаменателя q. Осталось проверить, выполняется ли условие модуля q < 1. В данном случае мы видим, что значение q равно 1/3, и оно действительно меньше 1. Таким образом, условие модуля q < 1 для данной геометрической прогрессии выполняется.
Теперь перейдем к нахождению суммы прогрессии.
Сумма геометрической прогрессии вычисляется по формуле: S_n = a1 * (1 - q^n) / (1 - q), где S_n - сумма первых n членов прогрессии.
Для данной задачи мы должны найти сумму для всех членов данной прогрессии, то есть для бесконечно большого значения n. В таком случае формула для суммы геометрической прогрессии имеет вид: S = a1 / (1 - q).
Подставим известные значения в формулу:
S = 9 / (1 - 1/3)
Вычислим значения внутри скобок:
S = 9 / (2/3)
S = 9 * 3/2
S = 27/2
Таким образом, сумма данной геометрической прогрессии равна 27/2 или 13.5.
b) Проверка условия модуля q < 1 для геометрической прогрессии 2, -1/2, 1/8, ...
Для начала, найдем знаменатель q аналогично предыдущей части задания:
(1/8) = (-1/2) * q^(3-1)
1/8 = -q^2/2
Умножим обе части равенства на 8, чтобы избавиться от дроби:
1 = -4q^2
Разделим обе части равенства на -4:
-1/4 = q^2
Так как модуль q не может быть отрицательным (в соответствии с условием вопроса), мы знаем, что q > 0. Поэтому получаем:
1/2 = q
Теперь у нас есть значение знаменателя q. Осталось проверить, выполняется ли условие модуля q < 1. В данном случае мы видим, что значение q равно 1/2, и оно действительно меньше 1. Таким образом, условие модуля q < 1 для данной геометрической прогрессии выполняется.
Приступим к нахождению суммы прогрессии.
Также как и в предыдущем случае, используем формулу для суммы геометрической прогрессии: S = a1 / (1 - q).
Подставим известные значения в формулу:
S = 2 / (1 - 1/2)
Рассчитываем значения внутри скобок:
S = 2 / (1/2)
S = 2 * 2/1
S = 4/1
Таким образом, сумма данной геометрической прогрессии равна 4.
a) Проверка условия модуля q < 1 для геометрической прогрессии 9, 3, 1, ...
Первым шагом в решении данной задачи будет найти знаменатель q геометрической прогрессии. Для этого можно использовать формулу для n-го члена геометрической прогрессии: an = a1 * q^(n-1), где an - n-й член, a1 - первый член, q - знаменатель прогрессии.
Подставим известные значения в данную формулу:
1 = 9 * q^(3-1)
Для того чтобы продолжить решение, нам нужно найти значение q. Для этого разделим обе части равенства на 9:
1/9 = q^2
Чтобы найти значение q, извлечем квадратный корень из обеих частей равенства:
sqrt(1/9) = sqrt(q^2)
Так как модуль q не может быть отрицательным (в соответствии с условием вопроса), мы знаем, что q > 0. Поэтому получаем:
1/3 = q
Теперь у нас есть значение знаменателя q. Осталось проверить, выполняется ли условие модуля q < 1. В данном случае мы видим, что значение q равно 1/3, и оно действительно меньше 1. Таким образом, условие модуля q < 1 для данной геометрической прогрессии выполняется.
Теперь перейдем к нахождению суммы прогрессии.
Сумма геометрической прогрессии вычисляется по формуле: S_n = a1 * (1 - q^n) / (1 - q), где S_n - сумма первых n членов прогрессии.
Для данной задачи мы должны найти сумму для всех членов данной прогрессии, то есть для бесконечно большого значения n. В таком случае формула для суммы геометрической прогрессии имеет вид: S = a1 / (1 - q).
Подставим известные значения в формулу:
S = 9 / (1 - 1/3)
Вычислим значения внутри скобок:
S = 9 / (2/3)
S = 9 * 3/2
S = 27/2
Таким образом, сумма данной геометрической прогрессии равна 27/2 или 13.5.
b) Проверка условия модуля q < 1 для геометрической прогрессии 2, -1/2, 1/8, ...
Для начала, найдем знаменатель q аналогично предыдущей части задания:
(1/8) = (-1/2) * q^(3-1)
1/8 = -q^2/2
Умножим обе части равенства на 8, чтобы избавиться от дроби:
1 = -4q^2
Разделим обе части равенства на -4:
-1/4 = q^2
Так как модуль q не может быть отрицательным (в соответствии с условием вопроса), мы знаем, что q > 0. Поэтому получаем:
1/2 = q
Теперь у нас есть значение знаменателя q. Осталось проверить, выполняется ли условие модуля q < 1. В данном случае мы видим, что значение q равно 1/2, и оно действительно меньше 1. Таким образом, условие модуля q < 1 для данной геометрической прогрессии выполняется.
Приступим к нахождению суммы прогрессии.
Также как и в предыдущем случае, используем формулу для суммы геометрической прогрессии: S = a1 / (1 - q).
Подставим известные значения в формулу:
S = 2 / (1 - 1/2)
Рассчитываем значения внутри скобок:
S = 2 / (1/2)
S = 2 * 2/1
S = 4/1
Таким образом, сумма данной геометрической прогрессии равна 4.