Как я понял, b-6,5 - это основание логарифмов? 1) Область определения логарифма: Основание логарифма > 0 и не равно 1 b - 6,5 > 0; b > 6,5 b - 6,5 =/= 1; b =/= 7,5 Число под логарифмом > 0: x^2 + 1 > 0 - это верно при любом х (b-5)*x > 0. Так как уже известно, что b > 5, то x > 0
2) Решаем уравнение. Основания логарифмов одинаковые, убираем их x^2 + 1 = (b-5)*x x^2 - (b-5)*x + 1 = 0 Так как уравнение должно иметь 2 различных корня, то D > 0 D = (b-5)^2 - 4*1*1 = b^2 - 10b + 25 - 4 = b^2 - 10b + 21 > 0 (b - 3)(b - 7) > 0 b < 3 U b > 7 Но из обл. опр. мы знаем, что b > 6,5 b =/= 7,5 b принадлежит (7; 7,5) U (7,5; +oo)
3) Найдем x x^2 - (b-5)*x + 1 = 0 x1 = (b - 5 - √(b^2 - 10b + 21) ) / 2 x2 = (b - 5 + √(b^2 - 10b + 21) ) / 2 Из обл. опр. мы выяснили, что х должен быть > 0. Ясно, что x2 > x1, поэтому достаточно проверить (b - 5 - √(b^2 - 10b + 21) ) / 2 > 0 b - 5 - √(b^2 - 10b + 21) > 0 √(b^2 - 10b + 21) < b - 5 b^2 - 10b + 21 < b^2 - 10b + 25 Это верно при любом b, но проверить было необходимо. ответ: b принадлежит (7; 7,5) U (7,5; +oo)
y = 1 - x - x^2 = 1 + 1/4 - (x^2 + x + 1/4) = 5/4 - (x + 1/2)^2
0 < x < 1/2 > 1/4 < y < 1
t = log2(y) > -2 < t < 0
logy(2) = 1/log2(y) = 1/t
t = a/t + b, b > 0
t^2 - bt - a = 0
Обозначим b = 2c, c > 0
Любое значение b <---> любое значение c
t^2 - 2ct - a = 0
t^2 - 2ct + c^2 - c^2 - a = 0
(t - c)^2 = c^2 + a
t - c = +- √(c^2 + a) // c^2 + a >= 0 для любого c > 0 ---> a >= 0
t = c +- √(с^2 + a)
с + √(с^2 + a) >= 0 - не интересует, т.к. нужно найти a, при которых -2 < t < 0
Рассмотрим c - √(с^2 + a) < 0 при любом a > 0
Осталось найти a, при которых
c - √(с^2 + a) > -2
c + 2 > √(с^2 + a) > 0
(c + 2)^2 > c^2 + a
c^2 + 4c + 4 > c^2 + a
4c + 4 > a, при любом c, причем c > 0 следовательно
4с + 4 > 4 >= a
0 < a <= 4
1) Область определения логарифма:
Основание логарифма > 0 и не равно 1
b - 6,5 > 0; b > 6,5
b - 6,5 =/= 1; b =/= 7,5
Число под логарифмом > 0:
x^2 + 1 > 0 - это верно при любом х
(b-5)*x > 0. Так как уже известно, что b > 5, то x > 0
2) Решаем уравнение. Основания логарифмов одинаковые, убираем их
x^2 + 1 = (b-5)*x
x^2 - (b-5)*x + 1 = 0
Так как уравнение должно иметь 2 различных корня, то D > 0
D = (b-5)^2 - 4*1*1 = b^2 - 10b + 25 - 4 = b^2 - 10b + 21 > 0
(b - 3)(b - 7) > 0
b < 3 U b > 7
Но из обл. опр. мы знаем, что
b > 6,5
b =/= 7,5
b принадлежит (7; 7,5) U (7,5; +oo)
3) Найдем x
x^2 - (b-5)*x + 1 = 0
x1 = (b - 5 - √(b^2 - 10b + 21) ) / 2
x2 = (b - 5 + √(b^2 - 10b + 21) ) / 2
Из обл. опр. мы выяснили, что х должен быть > 0.
Ясно, что x2 > x1, поэтому достаточно проверить
(b - 5 - √(b^2 - 10b + 21) ) / 2 > 0
b - 5 - √(b^2 - 10b + 21) > 0
√(b^2 - 10b + 21) < b - 5
b^2 - 10b + 21 < b^2 - 10b + 25
Это верно при любом b, но проверить было необходимо.
ответ: b принадлежит (7; 7,5) U (7,5; +oo)