Пусть f(x) = l a - 4 | х² + 4х + а - 5. Найдите, при каких значениях параметра а уравнение f(x) = 0 имеет ровно различных 2 решения, причем каждое из этих решений не превосходит единицы.

Показать ответ

Ответ:

kosen2332

15.10.2020 15:47

Пусть $x_{1},\; x_{2}$ — решения уравнения f(x)=0 . По условию $\left \{ {{x_{1}-1\leq 0 } \atop {x_{2}-1\leq 0 }} \right.$ . Можно сделать замену: $x-1=u \Leftrightarrow x=u+1$ и рассмотреть функцию f(u+1) . Переформулируем условие: найти все значения параметра , при каждом из которых уравнение f(u+1)=0 имеет два различных неположительных решения.

f(u+1)=|a-4|(u+1)^2+4(u+1)+a-5 , после преобразований получим f(u+1)=|a-4|u^2+u(2|a-4|+4)+|a-4|+a-1 . Необходимым и достаточным условием неположительности решений явлется неположительность суммы и неотрицательность произведения корней. Применяя теорему Виета, переходим к системе: $\left \{ {{-\frac{2|a-4|+4}{|a-4|}\leq 0 } \atop {\frac{|a-4|+a-1}{|a-4|}\geq 0 }} \right.$ . Сразу заметим, что a=4 не подходит, так как дает уравнение с не более чем одним решением. Система эквивалентна следующей: $\left \{ {{2|a-4|+4\geq 0 } \atop {|a-4|+a-1\geq 0 }} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{a\in\mathbb{R}} \atop {a\in\mathbb{R}}} \right. \Leftrightarrow a\in\mathbb{R}$ (1)

Теперь нужно наличие двух различных решений. Здесь удобно вернутся к изначальному уравнению (так как мы просто двигали параболу горизонтально). $\Delta=16-4|a-4|(a-5)0 \Rightarrow |a-4|(a-5)$ , это неравенство эквивалентно системе: $\left \{ {{(a-4)(a-5)4} } \right.\;\textbf{or}\; \left \{ {{(a-4)(a-5)-4} \atop {a$ (2).