Дано: найти площадь между линиями у=sin(x), y=sin(3x) в пределах от х =0 до х = π/2.
Находим точку пересечения линий - это условие sin(x) = sin(3x).
Синус тройного угла равен: sin(3x) = 3sin(x) - 4sin³(x). Подставим:
sin(x) = 3sin(x) - 4sin³(x).
4sin³(x) = 2sin(x).
4sin³(x) - 2sin(x) = 0. Сократим на 2.
2sin³(x) - sin(x) = 0. Вынесем за скобки.
sin(x)(2sin²(x) - 1) = 0. Приравниваем нулю каждый множитель.
sin(x) = 0. х = πк, к ∈ Z.
2sin²(x) - 1, sin(x) = +-1/√2.
x = 2πк +- (π/4), x = 2πк +- (3π/4).
Из этих корней выбираем тот, что находится между 0 и π/2.
Это х = 1/√2 или х = √2/2.
Заданная площадь этой точкой делится на 2 участка.
.
В числовом выражении S1 ≈ 0,27614.
Аналогично находим:
В числовом выражении S2 ≈ 0,94281.
ответ: площадь равна (1/3)*(4√2 - 2) ≈ 1,21895.
Дано: найти площадь между линиями у=sin(x), y=sin(3x) в пределах от х =0 до х = π/2.
Находим точку пересечения линий - это условие sin(x) = sin(3x).
Синус тройного угла равен: sin(3x) = 3sin(x) - 4sin³(x). Подставим:
sin(x) = 3sin(x) - 4sin³(x).
4sin³(x) = 2sin(x).
4sin³(x) - 2sin(x) = 0. Сократим на 2.
2sin³(x) - sin(x) = 0. Вынесем за скобки.
sin(x)(2sin²(x) - 1) = 0. Приравниваем нулю каждый множитель.
sin(x) = 0. х = πк, к ∈ Z.
2sin²(x) - 1, sin(x) = +-1/√2.
x = 2πк +- (π/4), x = 2πк +- (3π/4).
Из этих корней выбираем тот, что находится между 0 и π/2.
Это х = 1/√2 или х = √2/2.
Заданная площадь этой точкой делится на 2 участка.
В числовом выражении S1 ≈ 0,27614.
Аналогично находим:
В числовом выражении S2 ≈ 0,94281.
ответ: площадь равна (1/3)*(4√2 - 2) ≈ 1,21895.
1) Пусть у = х².
2) Тогда получаем новое уравнение второй степени:
у² - 5у + 4 = 0
Коэффициенты данного уравнения: a = 1, b = -5, c = 4.
Дискриминант равен:
D = b2 – 4ac = (-5)2 – 4 · 1 · 4 = 9
Дискриминант D > 0, следовательно уравнение имеет два действительных корня.
у1 = (-b + √D) / 2а = (-(-5) + √9) / 2 * 1 = 4.
у2 = (-b - √D) / 2а = (-(-5) - √9) / 2 * 1 = 1.
3) Вернувшись к замене у = х², подставим в нее вместо у найденные значения и получим два сокращенных квадратных уравнения: х² = 4 и х² = 1.
4) х² = 4
х = ±√4
х1,2 = ±2;
х² = 1
х = ±√1
х3,4 = ±1.
ответ: х1,2 = ±2; х3,4 = ±1.