Пять различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общего делителя, большего 1. а) Может ли сумма всех пяти чисел быть равна 26? б) Может ли сумма всех пяти чисел быть равна 23? в) Какое наименьшее значение может принимать сумма всех пяти чисел?
а) Может ли сумма всех пяти чисел быть равна 26?
Предположим, что сумма всех пяти чисел равна 26. Поскольку все числа различны, каждое из них должно быть меньше 26. Заметим, что числа 2, 3, 5 и 7 взаимно просты (у них нет общих делителей, больших 1), и их сумма равна 17. Но мы должны получить сумму 26, что больше 17. Значит, эти четыре числа не могут входить в сумму пяти чисел.
Тогда остается одно число, пусть это будет х. Сумма будет иметь вид: х + 17 = 26. Вычитаем 17 из обеих частей и получаем уравнение х = 9.
Число 9, взаимно простое с остальными числами, попросту не существует, поскольку у нас предположение о пяти различных числах без общего делителя больше 1.
Ответ: нет, сумма всех пяти чисел не может быть равна 26.
б) Может ли сумма всех пяти чисел быть равна 23?
Предположим, что сумма всех пяти чисел равна 23. Поскольку все числа различны, каждое из них должно быть меньше 23. Посмотрим на числа 2, 3, 5 и 7 - они взаимно просты и их сумма равна 17, что меньше 23.
Опять остается одно число, пусть это будет х. Сумма будет иметь вид: х + 17 = 23. Вычитаем 17 из обеих частей и получаем уравнение х = 6.
Число 6, взаимно простое с остальными числами, нам подходит. Возьмем 2, 3, 5, 7 и 6. Проверим, что все числа разные и не имеют общих делителей, больших 1.
2 - не делится ни на одно из оставшихся чисел, 3 - не делится, 5 - не делится, 7 - не делится, и 6 - не делится.
Значит, ответ: да, существуют пять различных натуральных чисел, сумма которых равна 23. Например, 2, 3, 5, 7 и 6.
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма всех пяти чисел?
Минимальное значение суммы будет получено, если мы возьмем пять соседних простых чисел. Например, 2, 3, 5, 7 и 11.
Сумма этих чисел равна 28. Однако, в вопросе сказано, что никакие два числа не должны иметь общего делителя, большего 1.
Заметим, что число 11 имеет общий делитель с числом 2 (делится на 11), поэтому это не является правильным ответом.
Теперь пробуем одно из следующих пяти соседних простых чисел: 3, 5, 7, 11 и 13.
Их сумма равна 39. Нет никаких общих делителей больше 1 между этими пятью числами, поэтому это является минимальной суммой, которую можно получить.
Ответ: минимальное значение суммы всех пяти чисел равно 39.