1. Для нахождения суммы и произведения корней квадратного уравнения, нам необходимо вспомнить формулы Виета. Для уравнения вида х2+px+q=0, где х1 и х2 - корни уравнения, сумма корней равна -p, а произведение корней равно q.
В данном случае, уравнение х2-10х+9=0, имеет следующие коэффициенты: а=1, b=-10, c=9.
Сумма корней будет равна: х1+х2 = 10/1 = 10.
Произведение корней будет равно: х1*х2 = 9/1 = 9.
Таким образом, сумма корней равна 10, а произведение корней равно 9.
Ответ: А) 10; 9.
2. Решим теперь уравнение х2-2х-8=0. Здесь a = 1, b = -2, c = -8.
Сумма корней будет равна: х1+х2 = 2/1 = 2.
Произведение корней будет равно: х1*х2 = -8/1 = -8.
Таким образом, сумма корней равна 2, а произведение корней равно -8.
Ответ: А) 2; -8.
3. Приравняем сумму и произведение корней заданных уравнений к -2 и -15 соответственно и решим их.
Из полученных результатов видно, что только вариант Г) х2+2х-15=0 удовлетворяет условию задачи.
Ответ: Г) х2+2х-15=0.
4. Для разложения квадратного трехчлена х2-х-30 на множители, мы должны найти числа, которые при умножении дают -30 и при сложении дают -1.
Поиск таких чисел можно проводить вручную или использовать метод разложения на множители. Применим метод разложения на множители.
У нас имеется уравнение х2-х-30=0.
Для начала, раскроем скобки (х-а)(х-в) и преобразуем уравнение в форму (х-а)(х-в)=0.
(х-а)(х-в)=0
х2-хв-ах+а*в=0
х2-(а+в)х+а*в=0
Заметим, что коэффициент при х равен -1, значит в сумме (а+в) = -1.
Также, по условию разложения, произведение (а*в)= -30.
Рассмотрим все возможные пары чисел, у которых сумма равна -1 и произведение равно -30:
8. Если у нас есть корни квадратного уравнения х1= -3 и х2= 6, приведенное квадратное уравнение можно записать в виде произведения двух квадратных трехчленов, где каждый из этих трехчленов имеет корень -3 и 6 соответственно.
Для решения данного уравнения, мы должны привести все дроби к общему знаменателю. В данном случае, общим знаменателем будет (2x + 2).
Первую дробь мы уже имеем в нужной форме (1/x + 1). Чтобы привести вторую дробь к нужному виду, нам нужно умножить числитель и знаменатель на 2:
2/2 * (2x + 2)/(2x + 2) = 4/(2x + 2).
Теперь уравнение будет выглядеть так:
1/x + 1 - 4/(2x + 2) = 0.
Общий знаменатель дробей равен (2x + 2), поэтому мы можем объединить дроби в одну:
(2(x + 1) - 4)/(2x + 2) = 0.
Теперь у нас получился одинаковый знаменатель в числителе и дроби, поэтому мы можем сразу приравнять числитель к нулю:
2(x + 1) - 4 = 0.
Раскроем скобки:
2x + 2 - 4 = 0.
2x - 2 = 0.
Теперь добавим 2 к обеим сторонам уравнения:
2x = 2.
Делим обе стороны на 2:
x = 1.
Получается, что при x = 1 оба знаменателя обращаются в ноль, что делает дроби неопределенными. Таким образом, x = 1 является недопустимым значением переменной для данного уравнения.
Остальные значения переменной x являются допустимыми и входят в область допустимых значений переменной для данного уравнения.
В данном случае, уравнение х2-10х+9=0, имеет следующие коэффициенты: а=1, b=-10, c=9.
Сумма корней будет равна: х1+х2 = 10/1 = 10.
Произведение корней будет равно: х1*х2 = 9/1 = 9.
Таким образом, сумма корней равна 10, а произведение корней равно 9.
Ответ: А) 10; 9.
2. Решим теперь уравнение х2-2х-8=0. Здесь a = 1, b = -2, c = -8.
Сумма корней будет равна: х1+х2 = 2/1 = 2.
Произведение корней будет равно: х1*х2 = -8/1 = -8.
Таким образом, сумма корней равна 2, а произведение корней равно -8.
Ответ: А) 2; -8.
3. Приравняем сумму и произведение корней заданных уравнений к -2 и -15 соответственно и решим их.
а) х2-2х-15=0:
Сумма корней: х1+х2 = 2/1 = 2.
Произведение корней: х1*х2 = -15/1 = -15.
б) х2-15х-2=0:
Сумма корней: х1+х2 = 15/1 = 15.
Произведение корней: х1*х2 = -2/1 = -2.
в) х2+15х-2=0:
Сумма корней: х1+х2 = -15/1 = -15.
Произведение корней: х1*х2 = -2/1 = -2.
г) х2+2х-15=0:
Сумма корней: х1+х2 = -2/1 = -2.
Произведение корней: х1*х2 = 15/1 = 15.
Из полученных результатов видно, что только вариант Г) х2+2х-15=0 удовлетворяет условию задачи.
Ответ: Г) х2+2х-15=0.
4. Для разложения квадратного трехчлена х2-х-30 на множители, мы должны найти числа, которые при умножении дают -30 и при сложении дают -1.
Поиск таких чисел можно проводить вручную или использовать метод разложения на множители. Применим метод разложения на множители.
У нас имеется уравнение х2-х-30=0.
Для начала, раскроем скобки (х-а)(х-в) и преобразуем уравнение в форму (х-а)(х-в)=0.
(х-а)(х-в)=0
х2-хв-ах+а*в=0
х2-(а+в)х+а*в=0
Заметим, что коэффициент при х равен -1, значит в сумме (а+в) = -1.
Также, по условию разложения, произведение (а*в)= -30.
Рассмотрим все возможные пары чисел, у которых сумма равна -1 и произведение равно -30:
(а+в) = -1, а*в = -30
-2 + 3 = 1, -2 * 3 = -6
-5 + 6 = 1, -5 * 6 = -30
-6 + 5 = -1, -6 * 5 = -30
-15 + 16 = 1, -15 * 16 = -240
-30 + 31 = 1, -30 * 31 = -930
Из этих пар чисел, только -5 и 6 дают сумму -1 и произведение -30.
Итак, разложение исходного уравнения х2-х-30=0 на множители будет выглядеть так: (х-5)(х+6).
Ответ: Б) (х+6)(х-5).
5. Разложим квадратный трехчлен 2х2-3х-2 на множители.
У нас имеется уравнение 2х2-3х-2=0.
Для разложения данного трехчлена на множители, мы должны найти числа, которые при умножении дают -4 и при сложении дают -3.
Исходя из заданных условий, таких чисел не существует, поэтому разложение данного квадратного трехчлена на множители невозможно.
Ответ: Г) разложить невозможно.
6. Разложим квадратный трехчлен 3х2+2х-1 на множители.
У нас имеется уравнение 3х2+2х-1=0.
Для начала, раскроем скобки (х-а)(х-в) и преобразуем уравнение в форму (х-а)(х-в)=0.
(х-а)(х-в)=0
х2-хв-ах+а*в=0
х2-(а+в)х+а*в=0
Заметим, что коэффициент при х равен 2, значит в сумме (а+в) = 2.
Также, по условию разложения, произведение (а*в)= -1.
Рассмотрим все возможные пары чисел, у которых сумма равна 2 и произведение равно -1:
(а+в) = 2, а*в = -1
-1 * -1 = 1
1 * -1 = -1
Из этих пар чисел, только -1 и -1 дают сумму 2 и произведение -1.
Итак, разложение исходного уравнения 3х2+2х-1=0 на множители будет выглядеть так: (3х-1)(х-1).
Ответ: В) (3х-1)(х-1).
7. Для сокращения дроби hello_html_m3e55f0ca.gif нужно найти ее наибольший общий делитель и поделить числитель и знаменатель на него.
Найдем наибольший общий делитель (НОД) чисел 22 и 44.
22 = 2 * 11
44 = 2 * 2 * 11
Таким образом, НОД для чисел 22 и 44 равен 22.
Поделим числитель и знаменатель на НОД:
hello_html_m3e55f0ca.gif = (22 / 22) / (44 / 22) = 1/2.
Ответ: 1/2.
8. Если у нас есть корни квадратного уравнения х1= -3 и х2= 6, приведенное квадратное уравнение можно записать в виде произведения двух квадратных трехчленов, где каждый из этих трехчленов имеет корень -3 и 6 соответственно.
Запишем приведенное квадратное уравнение:
(x - х1)(x - х2) = (x - (-3))(x - 6) = (x + 3)(x - 6) = x2 - 6x + 3x - 18 = x2 - 3x - 18.
Ответ: x2 - 3x - 18.
Первую дробь мы уже имеем в нужной форме (1/x + 1). Чтобы привести вторую дробь к нужному виду, нам нужно умножить числитель и знаменатель на 2:
2/2 * (2x + 2)/(2x + 2) = 4/(2x + 2).
Теперь уравнение будет выглядеть так:
1/x + 1 - 4/(2x + 2) = 0.
Общий знаменатель дробей равен (2x + 2), поэтому мы можем объединить дроби в одну:
(2(x + 1) - 4)/(2x + 2) = 0.
Теперь у нас получился одинаковый знаменатель в числителе и дроби, поэтому мы можем сразу приравнять числитель к нулю:
2(x + 1) - 4 = 0.
Раскроем скобки:
2x + 2 - 4 = 0.
2x - 2 = 0.
Теперь добавим 2 к обеим сторонам уравнения:
2x = 2.
Делим обе стороны на 2:
x = 1.
Получается, что при x = 1 оба знаменателя обращаются в ноль, что делает дроби неопределенными. Таким образом, x = 1 является недопустимым значением переменной для данного уравнения.
Остальные значения переменной x являются допустимыми и входят в область допустимых значений переменной для данного уравнения.