1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.
f'(x) = 3x2+18x
или
f'(x)=3x(x+6)
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
x(x+6) = 0
Откуда:
x1 = 0
x2 = -6
(-∞ ;-6) <=> f'(x) > 0 => функция возрастает;
(-6; 0) <=> f'(x) < 0 => функция убывает;
(0; +∞) <=> f'(x) > 0 => функция возрастает ;
В окрестности точки x = -6 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = -6 - точка максимума. В окрестности точки x = 0 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 0 - точка минимума.
2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная.
f''(x) = 6x+18
Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.
(-∞ ;-3) => функция выпукла;
(-3; +∞) => функция вогнута;
(-∞ ;-6) <=> f'(x) > 0 => функция возрастает;
(-6; 0) <=> f'(x) < 0 => функция убывает;
(0; +∞) <=> f'(x) > 0 => функция возрастает ;
Объяснение:
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.
f'(x) = 3x2+18x
или
f'(x)=3x(x+6)
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
x(x+6) = 0
Откуда:
x1 = 0
x2 = -6
(-∞ ;-6) <=> f'(x) > 0 => функция возрастает;
(-6; 0) <=> f'(x) < 0 => функция убывает;
(0; +∞) <=> f'(x) > 0 => функция возрастает ;
В окрестности точки x = -6 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = -6 - точка максимума. В окрестности точки x = 0 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 0 - точка минимума.
2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная.
f''(x) = 6x+18
Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.
6x+18 = 0
Откуда точки перегиба:
x1 = -3
(-∞ ;-3) => функция выпукла;
(-3; +∞) => функция вогнута;
1)x=-4.5; y=-6; 2)x=-7; y=-4
Объяснение:
\left \{ {{xy-6x+7y-42=0} \atop {\frac{y+4}{x+y+11}=4}} \right.\\
Выразим y во втором уравнении.
{\frac{y+4}{x+y+11}=4}}
y+4=-4(x+y+11) -перенесли x+y+11 в числитель правой части
y+4=-4x-4y-44 -разложили множители
5y=-4x-48
y=-(0.8x+9.6) -разделили на 5
Перейдем к первому уравнению. В нем мы заменим все y на значение, которое у нас сейчас получилось (0.8x+9.6)
x(0.8x+9.6)-6x+7(0.8x+9.6)-42=0
Теперь сокращаем:
0.8x^{2}+9.6x-6x+5.6x+67.2-42=0
0.8x^{2}+9.2x+25.2=0 Квадр. уравнение
d=b^{2}-4ac=9.2^{2}-4*0.8*25.2=4
x_{1,2}={\frac{-b+\sqrt{d}}{2a}}={\frac{-9.2±sqrt{4}}{2*0.8}}={\frac{-9.2±2}{1.6}}
x_{1}={\frac{-9.2+2}{1.6}}={\frac{-7.2}{1.6}}=-4.5
x_{2}={\frac{-9.2-2}{1.6}}={\frac{-11.2}{1.6}}=-7
y=-(0.8x+9.6)
y_{1}=-(-0.8*4.5+9.6)=-6
y_{2}=-(-0.8*7+9.6)-4
ответы: 1)x=-4.5; y=-6; 2)x=-7; y=-4