Для построения графика надо составить таблицу значений "у" по принятым значениям "х" для гиперболы: х 0.5 1 2 3 4 5 6 7 у=8/х 16 8 4 2.667 2 1.6 1.333 1.143, для прямой (достаточно двух точек): х 0 6 у=6-х 6 0. На пересечениях (рассматривается только одна ветвь гиперболы в первой четверти графика - где есть пересечение) получаем 2 значения (4;2) и (2;4). Можно проверить аналитически: в точках пересечения графиков их функции равны: у = 6-х у = 8/х 6-х = 8/х 6х - х² = 8. Получаем квадратное уравнение: х²-6х+8 = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:D=(-6)^2-4*1*8=36-4*8=36-32=4; Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: x_1=(√4-(-6))/(2*1)=(2-(-6))/2=(2+6)/2=8/2=4; x_2=(-√4-(-6))/(2*1)=(-2-(-6))/2=(-2+6)/2=4/2=2.
А) (а+7)(а-8)>(a+12)(a-13) a²+7a-8a-56>a²+12a-13a-156 a²-a-56>a²-a-156 a²-a²-a+a-56>-156 -56>-156 Что и требовалось доказать
б) (а-9)-12<(a-6)(a-12) a-9-12<a²-6a-12a+72 a-21<a²-18a+72 -a²+a+18a-21-72<0 -a²+19a-93<0 a²-19a+93>0 График у=а²-19а+93 - парабола, ветви направлены вверх а²-19а+93=0 Д=19²-4*93=361-372=-11 График функции не пересекает ось ОХ и находится выше оси ОХ. Значит а²-19а+93>0 при любых а. Отсюда начальное неравенство выполняется при любом а.
а∈(-0,71; 3,4) Получается, что исходное неравенство не выполняется при любом а. Проверка: пусть а =-1 (4*(-1)+3)(4*(-1)+5)-(5*(-1)-2)<14(5*(-1)+4) (-4+3)(-4+5)-(-5-2)<14(-5+4) -1*1+7<14*(-1) 6<-14 - неверно
х 0.5 1 2 3 4 5 6 7
у=8/х 16 8 4 2.667 2 1.6 1.333 1.143,
для прямой (достаточно двух точек):
х 0 6
у=6-х 6 0.
На пересечениях (рассматривается только одна ветвь гиперболы в первой четверти графика - где есть пересечение) получаем 2 значения (4;2) и (2;4).
Можно проверить аналитически: в точках пересечения графиков их функции равны:
у = 6-х
у = 8/х
6-х = 8/х
6х - х² = 8.
Получаем квадратное уравнение: х²-6х+8 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:D=(-6)^2-4*1*8=36-4*8=36-32=4;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√4-(-6))/(2*1)=(2-(-6))/2=(2+6)/2=8/2=4;
x_2=(-√4-(-6))/(2*1)=(-2-(-6))/2=(-2+6)/2=4/2=2.
a²+7a-8a-56>a²+12a-13a-156
a²-a-56>a²-a-156
a²-a²-a+a-56>-156
-56>-156
Что и требовалось доказать
б) (а-9)-12<(a-6)(a-12)
a-9-12<a²-6a-12a+72
a-21<a²-18a+72
-a²+a+18a-21-72<0
-a²+19a-93<0
a²-19a+93>0
График у=а²-19а+93 - парабола, ветви направлены вверх
а²-19а+93=0
Д=19²-4*93=361-372=-11
График функции не пересекает ось ОХ и находится выше оси ОХ.
Значит а²-19а+93>0 при любых а.
Отсюда начальное неравенство выполняется при любом а.
в) (4а+3)(4а+5)-(5а-2)<14(5a+4)
16a²+12a+20a+15-5a+2<70a+56
16a²+27a-70a+17-56<0
16a²-43a-39<0
График у=16а²-43а-39 - парабола, ветви направлены вверх
16а²-43а-39=0
Д=43²-4*16*(-39)=1849+2496=4345≈65,91²
а₁=43-65,91≈-0,71
32
а₂=43+65,91≈3,4
32
+ - +
-0,71 3,4
а∈(-0,71; 3,4)
Получается, что исходное неравенство не выполняется при любом а.
Проверка: пусть а =-1
(4*(-1)+3)(4*(-1)+5)-(5*(-1)-2)<14(5*(-1)+4)
(-4+3)(-4+5)-(-5-2)<14(-5+4)
-1*1+7<14*(-1)
6<-14 - неверно