Рассмотрим равноускоренное движение автомобиля начальной скоростью равной 14 м/с ускорение автомобиля 5 м/с^2 расстояние метров пройденное за определенное время t в секундах определяется формулой s=14t+5t^2/2 таким образом за 5 секунд автомобиль приезжает 132,5 метров, за 10 секунд 370 метров, а за 20 секунд 1280 метров. Обратите внимание что отношение между расстоянием и временем не линейное, это пример линейного уровнения: s=14t+5t^2/2 с двумя переменными s и t​

Надо производную первого порядка приравнять нулю и найти критические точки функции.

у¹= ( (х-10)²(х-6)-3)¹=2(х-10)(х-6)+(х-10)² *1=3х²-52х+220=0

 х₁=10, х₂=22/3 - это критические точки. Определим знаки производной на промежутках.

(22/3)(10). Знаки располагаются так: +, -, +. Значит х=22/3 -точка максимума,х=10 - точка минимума. Теперь подсчитаем значение самой функции в этих точках, получим максимум и минимум функции.Так как в условии говориться о максимуме только, то вычисляем у(22/3)=(22/3-10)²(22/3-6)-3=(-8/3)²*(4/3)-3=256/9-3=229/9.

Чтобы найти первообразную F(x), надо проинтегрировать заданную функцию.

  ∫(x³-9x)*√(x-2) *dx.Сделаем замену:  t²=x-2, x=t²+2, dx=2t dt. Тогда получим интеграл

  ∫[(t²+2)³-9(t²+2)] *2t² dt= 2 ∫[t⁶+6t⁴+12t²+8-9t²-18]*t²dt= 2 ∫[ t⁸+6t⁶+3t⁴-10t² ]*dt= 2[ t⁹/9+6t⁷/7+3t⁵/5-10t³/3] + C= 2/9*t⁹+12/7*t⁷+6/5*t⁵-20/3*t³ +C, где t=√(x-2).

 Для исследования  F(x) надо найти производную от неё F¹(x),приравнять нулю Но производная должна быть равна заданной функции у=(x³-9x)*√(x-2). Это по определению первообразной.

y¹=(3x²-9)*√(x-2)+(x³-9x)*1/ √(x-2)=1/√(x-2) *[2(3x²-9)(x-2)+x³-9x]=0

То, что в квадр. скобках - числитель, а в знаменателе - √(х-2).

х≠2, числитель 7x³-12x²-27x+36=0. Из этого уравнения найдете корни (подбором, 36 должно делиться на корни).Корни являются критическими точками, то есть точками, подозрительными на экстремум.

В этом примере  первообразная нужна, чтобы найти "у" экстремальных точек.