Докажем сначала, что √7 - иррациональное число: пусть √7 - рациональное, тогда его можно представить в виде √7 = p/q - несократимая дробь, где p,q - натуральные числа тогда 7=p^2/q^2, 7q^2=p^2. Т.к. 7q^2 делится на 7, то и p^2 делится на 7, тогда p=7k, где к - натуральное, получаем 7q^2=(7k)^2, 7q^2=49k^2, q^2=7k^2, значит q - делится на 7. Получается, что p - делится на 7 и q - делится на 7, т.е. противоречие, т.к. p/q - несократимая дробь. Значит не существует рационального числа, которое равно √7. Аналогично доказывается, про √5 и √2. Теперь про сумму(разность) иррациональных чисел: 1. сначала докажем, что √5+√2 - иррациональное пусть √5+√2=r - рациональное, тогда √5=r-√2, 5=r^2-2√2+2, получаем √2=(r^2 -3)/2 - рациональное - противоречие, т.к. √2 - иррац. 2. пусть√7- (√5+√2)=r - рациональное, тогда √7-r=√5+√2, 7-2√7r+r^2=5+2√10+2, √5√2+√7=r^2 /2 - рациональное, противоречие, аналогично случаю 1.
как найти точки пересечения графика функции с осями координат?
с осью абсцисс график функции может иметь любое количество общих точек (или ни одной). с осью ординат — не более одной (так как по определению функции каждому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции).
чтобы найти точки пересечения графика функции y=f(x) с осью абсцисс, надо решить уравнение f(x)=0 (то есть найти нули функции).
чтобы найти точку пересечения графика функции с осью ординат, надо в формулу функции вместо каждого x подставить нуль, то есть найти значение функции при x=0: y=f(0).
примеры.
1) найти точки пересечения графика линейной функции y=kx+b с осями координат.
решение:
в точке пересечения графика функции с осью ox y=0:
kx+b=0, => x= -b/k. таким образом, линейная функция пересекает ось абсцисс в точке (-b/k; 0).
в точке пересечения с осью oy x=0:
y=k∙0+b=b. отсюда, точка пересечения графика линейной функции с осью ординат — (0; b).
например, найдём точки пересечения с осями координат графика линейной функции y=2x-10.2x-10=0; x=5. с ox график пересекается в точке (5; 0).
y=2∙0-10=-10. с oy график пересекается в точке (0; -10).
2) найти точки пересечения графика квадратичной функции y=ax²+bx+c с осями координат.
решение:
в точке пересечения графика с осью абсцисс y=0. значит, чтобы найти точки пересечения графика квадратичной функции (параболы) с осью ox, надо решить квадратное уравнение ax²+bx+c=0.
в зависимости от дискриминанта, парабола пресекает ось абсцисс в одной точке или в двух точках либо не пересекает ox.
в точке пересечения графика с осью oy x=0.
y=a∙0²+b∙0+c=с. следовательно, (0; с) — точка, в которой парабола пересекает ось ординат.
например, найдём точки пересечения с осями координат графика функции y=x²-9x+20.
x²-9x+20=0
x1=4; x2=5. график пересекает ось абсцисс в точках (4; 0) и (5; 0).
y=0²-9∙0+20=20. отсюда, (0; 20) — точка пересечения параболы y=x²-9x+20 с осью ординат.
пусть √7 - рациональное, тогда его можно представить в виде
√7 = p/q - несократимая дробь, где p,q - натуральные числа
тогда 7=p^2/q^2, 7q^2=p^2. Т.к. 7q^2 делится на 7, то и p^2 делится на 7,
тогда p=7k, где к - натуральное, получаем
7q^2=(7k)^2, 7q^2=49k^2, q^2=7k^2, значит q - делится на 7.
Получается, что p - делится на 7 и q - делится на 7, т.е. противоречие,
т.к. p/q - несократимая дробь. Значит не существует рационального числа, которое равно √7.
Аналогично доказывается, про √5 и √2.
Теперь про сумму(разность) иррациональных чисел:
1. сначала докажем, что √5+√2 - иррациональное
пусть √5+√2=r - рациональное, тогда √5=r-√2, 5=r^2-2√2+2, получаем
√2=(r^2 -3)/2 - рациональное - противоречие, т.к. √2 - иррац.
2. пусть√7- (√5+√2)=r - рациональное, тогда
√7-r=√5+√2, 7-2√7r+r^2=5+2√10+2, √5√2+√7=r^2 /2 - рациональное,
противоречие, аналогично случаю 1.
Таким образом √7 -(√5+√2) - иррациональное
как найти точки пересечения графика функции с осями координат?
с осью абсцисс график функции может иметь любое количество общих точек (или ни одной). с осью ординат — не более одной (так как по определению функции каждому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции).
чтобы найти точки пересечения графика функции y=f(x) с осью абсцисс, надо решить уравнение f(x)=0 (то есть найти нули функции).
чтобы найти точку пересечения графика функции с осью ординат, надо в формулу функции вместо каждого x подставить нуль, то есть найти значение функции при x=0: y=f(0).
примеры.
1) найти точки пересечения графика линейной функции y=kx+b с осями координат.
решение:
в точке пересечения графика функции с осью ox y=0:
kx+b=0, => x= -b/k. таким образом, линейная функция пересекает ось абсцисс в точке (-b/k; 0).
в точке пересечения с осью oy x=0:
y=k∙0+b=b. отсюда, точка пересечения графика линейной функции с осью ординат — (0; b).
например, найдём точки пересечения с осями координат графика линейной функции y=2x-10.2x-10=0; x=5. с ox график пересекается в точке (5; 0).
y=2∙0-10=-10. с oy график пересекается в точке (0; -10).
2) найти точки пересечения графика квадратичной функции y=ax²+bx+c с осями координат.
решение:
в точке пересечения графика с осью абсцисс y=0. значит, чтобы найти точки пересечения графика квадратичной функции (параболы) с осью ox, надо решить квадратное уравнение ax²+bx+c=0.
в зависимости от дискриминанта, парабола пресекает ось абсцисс в одной точке или в двух точках либо не пересекает ox.
в точке пересечения графика с осью oy x=0.
y=a∙0²+b∙0+c=с. следовательно, (0; с) — точка, в которой парабола пересекает ось ординат.
например, найдём точки пересечения с осями координат графика функции y=x²-9x+20.
x²-9x+20=0
x1=4; x2=5. график пересекает ось абсцисс в точках (4; 0) и (5; 0).
y=0²-9∙0+20=20. отсюда, (0; 20) — точка пересечения параболы y=x²-9x+20 с осью ординат.