сколько корней имеет уравнение (cos2x-cosx)/sinx=0 на промежутке [-2π;2π ] ?
ОДЗ: sinx ≠ 0 . x ≠ π*n , n ∈ Z . --- cos2x - cosx = 0 ; 2cos²x -cosx -1 =0 ; замена : t = cosx 2t² - t -1 =0 ; D =1² -4*2( -1) = 1+8 =9 =3² t₁ =(1+3)/4 =1 ⇒ cosx =1 ⇔ sinx = 0 не удовлетворяет ОДЗ . t₂ =(1-3)/4 = -1/2 ⇒ cosx = -1/2 . x = ± 2π/3 +2π*k , k∈ Z .
x₁ = 2π/3 +2π*k , k∈ Z . Из них два решения на промежутке [-2π;2π ] : - 4π/3 (если k = -1 ) и 2π/3 (если k =0 ) . * * * - 2π ≤ 2π/3 +2π*k ≤ 2π ⇔ -1 ≤ 1/3 +k ≤ 1 ⇔ -1 - 1/3 ≤ k ≤ 1 -1/3 ⇒ k = -1 ; 0 * * * x₂ = -2π/3 +2π*k , k∈ Z .Из них два решения на промежутке [-2π;2π ] : - 2π/3 (если k = 0 ) и 4π/3 (если k =1 ) . * * * - 2π ≤ -2π/3 +2π*k ≤ 2π ⇔ -1 ≤ -1/3 +k ≤ 1 ⇔ -1 + 1/3 ≤ k ≤ 1 +1/3 ⇒ k = 0 ; 1 * * * ответ : 4 корней на промежутке [-2π;2π ] . * * * * * * * Другой решения : (cos2x-cosx) / sinx = 0 ⇔(системе) {cos2x - cosx = 0 ; sinx ≠ 0 . * * * требование sinx ≠ 0 определяет ОДЗ уравнения * * * * * * cosα - cosβ = - 2sin(α - β)/2*sin(α + β)/2 * * * cos2x - cosx = 0 ; -2sin(x/2)*sin(3x/2) =0. a) x/2 =π*k , k ∈ Z ; x =2π*k , k ∈ Z . b) 3x/2 =π*m , m ∈ Z --- x =2π*m/3 , m ∈ Z Серия решений x =2π*k входит в x =2π*m/3 , если m =3k ∈ Z , т.е. общее решение уравнения cos2x - cosx= 0 является x =2π*m/3, m ∈ Z . Из них нужно исключить m=3n x₁ =2π*(3n+1)/3 =2π/3 +2π*n , n ∈ Z . x₂ =2π*(3n -1)/3 = -2π/3 +2π*n , n ∈ Z .
Площадь картины с окантовкой (см. приложение) :
(16 + k + k)×(11 + k + k) = 300
( 16 + 2k )×( 11 + 2k) = 300
16 × 11 + 16×2k + 2k×11 + 2k×2k = 300
176 + 32k + 22k + 4k² = 300
4k² + 54k + 176 - 300 = 0
4k² + 54k - 124 = 0
2×(2k² + 27k - 62) = 0 |÷2
2k² + 27k - 62 = 0
D = 27² - 4×2×(-62) = 729 +496 = 1225 = 35²
D>0 - два корня уравнения
k₁ = ( - 27 - 35)/(2×2) = -62/4 = - 15,5 - не удовлетворяет условию задачи, т.к. ширина - неотрицательная величина.
k₂ = ( - 27 + 35) / (2×2) = 8/4 = 2 (см) ширина окантовки
ответ: 2 см.
Не получается 496....
[-2π;2π ] ?
ОДЗ: sinx ≠ 0 .
x ≠ π*n , n ∈ Z .
---
cos2x - cosx = 0 ;
2cos²x -cosx -1 =0 ; замена : t = cosx
2t² - t -1 =0 ; D =1² -4*2( -1) = 1+8 =9 =3²
t₁ =(1+3)/4 =1 ⇒ cosx =1 ⇔ sinx = 0 не удовлетворяет ОДЗ .
t₂ =(1-3)/4 = -1/2 ⇒ cosx = -1/2 .
x = ± 2π/3 +2π*k , k∈ Z .
x₁ = 2π/3 +2π*k , k∈ Z . Из них два решения на промежутке [-2π;2π ] : - 4π/3 (если k = -1 ) и 2π/3 (если k =0 ) .
* * * - 2π ≤ 2π/3 +2π*k ≤ 2π ⇔ -1 ≤ 1/3 +k ≤ 1 ⇔ -1 - 1/3 ≤ k ≤ 1 -1/3 ⇒
k = -1 ; 0 * * *
x₂ = -2π/3 +2π*k , k∈ Z .Из них два решения на промежутке [-2π;2π ] :
- 2π/3 (если k = 0 ) и 4π/3 (если k =1 ) .
* * * - 2π ≤ -2π/3 +2π*k ≤ 2π ⇔ -1 ≤ -1/3 +k ≤ 1 ⇔ -1 + 1/3 ≤ k ≤ 1 +1/3 ⇒
k = 0 ; 1 * * *
ответ : 4 корней на промежутке [-2π;2π ] .
* * * * * * *
Другой решения :
(cos2x-cosx) / sinx = 0 ⇔(системе) {cos2x - cosx = 0 ; sinx ≠ 0 .
* * * требование sinx ≠ 0 определяет ОДЗ уравнения * * *
* * * cosα - cosβ = - 2sin(α - β)/2*sin(α + β)/2 * * *
cos2x - cosx = 0 ;
-2sin(x/2)*sin(3x/2) =0.
a) x/2 =π*k , k ∈ Z ;
x =2π*k , k ∈ Z .
b) 3x/2 =π*m , m ∈ Z
---
x =2π*m/3 , m ∈ Z
Серия решений x =2π*k входит в x =2π*m/3 , если m =3k ∈ Z , т.е.
общее решение уравнения cos2x - cosx= 0 является x =2π*m/3, m ∈ Z .
Из них нужно исключить m=3n
x₁ =2π*(3n+1)/3 =2π/3 +2π*n , n ∈ Z .
x₂ =2π*(3n -1)/3 = -2π/3 +2π*n , n ∈ Z .